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    第五章,5.1.2,弧度制

    时间：2020-11-03 20:55:50 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：第五章 弧度 5 1

    　5 ．1.2

    　弧度制 学习目标 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1 弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．

    　知识点一 度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1 度的角 1 度的角等于周角的1360

    　弧度制 定义 以弧度作为单位来度量角的单位制 1 弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角

    　知识点二 弧度数的计算

    　思考 比值 lr 与所取的圆的半径大小是否有关？ 答案 一定大小的圆心角 α 所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 知识点三 角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝π180

    　rad≈0.017 45 rad 1 rad＝ 180π°≈57.30° 度数×π180 ＝弧度数 弧度数× 180π°＝度数

    　知识点四 弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR.

    　(2)扇形面积公式：S＝ 12 lR＝12 αR2 . 思考 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？ 答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高．

    　1．18°＝________ rad. 答案 π10

    　2. 3π10 ＝________. 答案 54° 3．若 α＝ π4 ，则 α 是第________象限角． 答案 一 4．圆心角为 π3 弧度，半径为 6 的扇形的面积为________． 答案 6π 解析 扇形的面积为 12 ×62 × π3 ＝6π.

    　一、角度制与弧度制的互化 例 1 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：

    　(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－ 2π9. 解 (1)72°＝72×π180 ＝2π5； (2)－300°＝－300×π180 ＝－5π3； (3)2＝2× 180π°＝ 360π°； (4)－ 2π9＝－ 2π9× 180π°＝－40°. 反思感悟 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180 ＝弧度数，弧度数× 180π°＝度数．

    　跟踪训练 1 已知 α＝15°，β＝π10 ，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12 ，试比较 α，β，γ，θ，φ 的大小． 解 α＝15°＝15×π180 ＝π12 ，θ＝105°＝105×π180 ＝7π12 ， ∵π12 <π10 <1<7π12 ，∴α<β<γ<θ＝φ. 二、用弧度制表示有关的角 例 2 将－1 125°写成 α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π.并判断它是第几象限角？ 解 －1 125°＝－1 125×π180

    　＝－ 25π4＝－8π＋ 7π4. 其中 3π2< 7π4<2π，因为 7π4是第四象限角， 所以－1 125°是第四象限角． 延伸探究 若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与 α 终边相同的角的集合． 解 依题意与 α 终边相同的角为 7π4＋2kπ，k∈Z， 由－4π≤ 7π4＋2kπ≤4π，k∈Z， 知 k＝－2，－1,0,1， 所以所求角的集合为  － 9π4，－ π4 ，7π4， 15π4. 反思感悟 用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用． 跟踪训练 2 (1)用弧度制表示与 150°角终边相同的角的集合为(

    　) A.  β  β＝－ 5π6＋2kπ，k∈Z

    　B.  β  β＝ 5π6＋k·360°，k∈Z

    　C.  β  β＝ 2π3＋2kπ，k∈Z

    　D.  β  β＝ 5π6＋2kπ，k∈Z

    　答案 D 解析 150°＝150×π180 ＝5π6，故与 150°角终边相同的角的集合为  β  β＝ 5π6＋2kπ，k∈Z .

    　(2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角 θ 的集合．

    　解 终边落在射线 OA 上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝ 3π4＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线 OB 上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝－ π6 ＋2kπ，k∈Z， 故终边落在阴影部分的角 θ 的集合为  θ  － π6 ＋2kπ≤θ≤3π4＋2kπ，k∈Z . 三、扇形的弧长、面积 例 3 (1)已知一扇形的圆心角是 72°，半径为 20，求扇形的面积． 解 设扇形弧长为 l， 因为圆心角 72°＝72×π180 ＝2π5 rad， 所以扇形弧长 l＝|α|·r＝ 2π5×20＝8π， 于是，扇形的面积 S＝ 12 l·r＝12 ×8π×20＝80π. (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm 2 ，求扇形圆心角的弧度数． 解 设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l cm，半径为 R cm， 依题意有 l＋2R＝10，

    　 ①12 lR＝4.

    　② ①代入②得 R 2 －5R＋4＝0，解得 R 1 ＝1，R 2 ＝4. 当 R＝1 时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad 舍去． 当 R＝4 时，l＝2，此时，θ＝ 24 ＝12 (rad)． 综上可知，扇形圆心角的弧度数为 12

    　rad. 延伸探究 已知一扇形的周长为 4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 解 设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，半径为 r，面积为 S， 则 l＋2r＝4，所以 l＝4－2r 21＋π <r<2，

    　所以 S＝ 12 l·r＝12 ×(4－2r)×r＝ －r 2 ＋2r＝－(r－1) 2 ＋1， 所以当 r＝1 时，S 最大，且 S max ＝1， 因此，θ＝ lr ＝4－2×11＝2(rad)． (学生) 反思感悟 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是 S＝ 12 lR＝12 αR2 (其中 l 是扇形的弧长，R 是扇形的半径，α 是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 跟踪训练 3 若扇形的圆心角为 216°，弧长为 30π，求扇形的半径及面积． 解 设扇形的半径为 r，弧长为 l，面积为 S， ∵216°＝216×π180 ＝6π5， ∴l＝α·r＝ 6π5r＝30π，解得 r＝25， ∴S＝ 12 lr＝12 ×30π×25＝375π.

    　1．下列说法中，错误的是(

    　) A．半圆所对的圆心角是 π rad B．周角的大小等于 2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度 答案 D 解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知 A，B，C 均正确，D 错误． 2．若 α＝－2 rad，则 α 的终边在(

    　) A．第一象限

    　 B．第二象限 C．第三象限

    　 D．第四象限 答案 C 3．时针经过一小时，转过了(

    　) A. π6

    　rad

    　 B．－ π6

    　rad

    　C.π12

    　rad

    　 D．－π12

    　rad 答案 B 解析 时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－ π6

    　rad. 4．与 60°终边相同的角可表示为(

    　) A．k·360°＋ π3 (k∈Z)

    　 B．2kπ＋60°(k∈Z) C．2k·360°＋60°(k∈Z)

    　 D．2kπ＋ π3 (k∈Z) 答案 D 5．周长为 9，圆心角为 1 rad 的扇形面积为________． 答案 92

    　解析 设扇形的半径为 r，弧长为 l， 由题意可知  2r＋l＝9，l＝r，所以  r＝3，l＝3， 所以 S＝ 12 lr＝92 .

    　1．知识清单：

    　(1)弧度制的概念． (2)弧度与角度的相互转化． (3)扇形的弧长与面积的计算． 2．方法归纳：消元法． 3．常见误区：弧度与角度混用．

    　 1．角 25π12终边所在的象限是(

    　) A．第一象限

    　 B．第二象限 C．第三象限

    　 D．第四象限 答案 A 解析 2512 π＝2π＋π12 ，π12 是第一象限角，故25π12是第一象限角．

    　2．若一个扇形的半径变为原来的 2 倍，而弧长也变为原来的 2 倍，则(

    　) A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积增大到原来的 2 倍 D．扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 答案 B 解析 ∵l＝αR，∴α＝lR . 当 R，l 均变为原来的 2 倍时，α 不变． 而 S＝ 12 αR2 中， ∵α 不变，∴S 变为原来的 4 倍． 3．(多选)下列与 9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是(

    　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋ 9π4(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．2kπ＋ π4 (k∈Z) 答案 CD 解析 A，B 中弧度与角度混用，不正确； 9π4＝2π＋ π4 ， 所以 9π4与 π4 终边相同． －315°＝－360°＋45°， 所以－315°也与 45°终边相同，即与 9π4终边相同． 4．集合  α  kπ＋ π4 ≤α≤kπ＋π2 ，k∈Z中角所表示的范围(阴影部分)是(

    　)

    　答案 C 解析 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线 y＝x 左上部分(包含边界)，k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线 y＝x 的右下部分(包含边界)．

    　5．(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(

    　) A. π6

    　B. π3

    　C. 2π3

    　 D. 5π6 答案 AD 解析 设该弦所对的圆周角为 α， 则其圆心角为 2α 或 2π－2α， 由于弦长等于半径， 所以可得 2α＝ π3 或 2π－2α＝π3 ，解得 α＝π6 或 α＝5π6. 6．－135°化为弧度为________， 11π3化为角度为________． 答案 － 3π4 660° 解析 －135°＝－135×π180 ＝－3π4； 11π3＝ 113×180°＝660°. 7．在扇形中，已知半径为 8，弧长为 12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________． 答案 32

    　48 解析 α＝ lr ＝128＝ 32 ， S＝ 12 l·r＝12 ×12×8＝48. 8．若 α 为三角形的一个内角，且 α 与－ 27π8的终边相同，则 α＝________. 答案 5π8 解析 － 27π8＝－4π＋ 5π8， 所以与－ 27π8终边相同的角为 5π8＋2kπ，k∈Z， 又 α∈(0，π)，故 α＝ 5π8. 9．已知角 α＝1 200°. (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出 α 是第几象限的角； (2)在区间[－4π，0]上找出与 α 终边相同的角． 解 (1)因为 α＝1 200°＝1 200×π180 ＝20π3＝3×2π＋ 2π3，

    　所以角 α 与 2π3的终边相同， 又 π2 <2π3<π， 所以角 α 是第二象限的角． (2)因为与角 α 终边相同的角(含角 α 在内)为 2kπ＋ 2π3，k∈Z， 所以由－4π≤2kπ＋ 2π3≤0，得－ 73 ≤k≤－13 . 因为 k∈Z，所以 k＝－2 或 k＝－1. 故在区间[－4π，0]上与角 α 终边相同的角是－ 10π3，－ 4π3. 10．已知半径为 10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小； (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. 解 (1)由⊙O 的半径 r＝10＝AB， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB＝60°＝ π3 . (2)由(1)可知 α＝ π3 ，r＝10， ∴弧长 l＝α·r＝ π3 ×10＝10π3， ∴S 扇形 ＝ 12 lr＝12 ×10π3×10＝ 50π3， 而 S △ AOB ＝ 12 ·AB·32AB＝ 12 ×10×5 3＝25 3， ∴S＝S 扇形 －S △ AOB ＝25 2π3－ 3 .

    　11．(多选)下列表示中正确的是(

    　) A．终边在 x 轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z} B．终边在第二象限角的集合为  α  π2 ＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z C．终边在坐标轴上角的集合是  α  α＝ kπ2，k∈Z

    　D．终边在直线 y＝x 上角的集合是  α  α＝ π4 ＋2kπ，k∈Z 答案 ABC

    　解析 A，B 显然正确． 对于 C，终边在 x 轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在 y 轴上的角的集合为α  α＝ π2 ＋kπ，k∈Z，其并集为  α  α＝ kπ2，k∈Z ，故 C 正确； 对于 D，终边在 y＝x 上的角的集合为  α  α＝ π4 ＋2kπ，k∈Z或  α  α＝ 5π4＋2kπ，k∈Z ，其并集为  α  α＝ π4 ＋kπ，k∈Z，故 D 不正确． 12．自行车的大链轮有 88 齿，小链轮有 20 齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是(

    　) A. 5π11

    　 B.44π5

    　C. 5π22

    　 D.22π5 答案 B 解析 由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过 8820 周，小链轮转过的弧度是8820×2π＝ 44π5. 13．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为(

    　) A. π2

    　 B.π3

    　 C. 2

    　D. 3 答案 C 解析 如图，设圆的半径为 R，则正方形边长为 2R，

    　∴弧长 l＝ 2R，∴α＝lR ＝2RR＝ 2.

    　14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ 12 (弦×矢＋矢2 )．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 2π3，半径为 4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________ m 2 (精确到 1 m 2 )．

    　答案 9

    　解析 2π3＝120°，根据题意， 弦＝2×4sin 120°2＝4 3(m)， 矢＝4－2＝2(m)， 因此弧田面积＝ 12 ×(弦×矢＋矢2 )＝ 12 ×(4 3×2＋22 )＝4 3＋2≈9(m 2 )．

    　15．若角α与角x＋ π4 有相同的终边，角β与角x－π4 有相同的终边，那么α与β间的关系为(

    　) A．α＋β＝0 B．α－β＝0 C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋ π2 (k∈Z) 答案 D 解析 因为 α＝x＋ π4 ＋2k 1 π(k 1 ∈Z)， β＝x－ π4 ＋2k 2 π(k 2 ∈Z)， 所以 α－β＝ π2 ＋2(k 1 －k 2 )π(k 1 ∈Z，k 2 ∈Z)． 因为 k 1 ∈Z，k 2 ∈Z， 所以 k 1 －k 2 ∈Z. 所以 α－β＝ π2 ＋2kπ(k∈Z)． 16.如图，动点 P，Q 从点 A(4,0)出发，沿圆周运动，点 P 按逆时针方向每秒钟转 π3 弧度，点 Q按顺时针方向每秒钟转 π6 弧度，求 P，Q 第一次相遇时所用的时间及 P，Q 点各自走过的弧长．

    　解 如图，设 P，Q 第一次相遇时所用的时间是 t 秒，

    　则 t·π3 ＋t· － π6＝2π， 所以 t＝4， 即 P，Q 第一次相遇时所用的时间为 4 秒． P 点走过的弧长为 4π3×4＝ 16π3， Q 点走过的弧长为 2π3×4＝ 8π3.

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