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    第9节,空间向量应用

    时间：2020-09-30 15:15:10 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：向量 空间

    　 第 1 页 共 9 页 第 9 节 空间向量的应用 课程标准：1.理解向量的概念、运算、基本定理的应用；2.运用向量的方法研究空间向量基本图形的位置关系和度量关系，3.运用向量方法解决简单的数学问题与实际问题。

    　【知识梳理】

    　1．两个重要向量 直线的 方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有

    　个 平面的 法向量 直线 l⊥平面 α，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面 α 的法向量．显然一个平面的法向量有

    　 个，它们是共线向量

    　2．向量方法求角度 （1）．两条异面直线所成角的求法 设 a，b 分别是两异面直线 l 1 ，l 2 的方向向量，则

    　l 1 与 l 2 所成的角 θ a 与 b 的夹角 β 范围

    　 求法

    　（2）直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，a 与 n 的夹角为 β，则 sin θ＝|cos β|＝

    　（3）．求二面角的大小 1)如图①，AB，CD 分别是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝

    　2)如图②③，n 1 ，n 2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝|cos〈n 1 ，n 2 〉|，二面角的平面角大小是向量 n 1 与 n 2 的夹角或

    　 ．

    　3. 向量方法求距离 （1）．利用空间向量如何求线段长度？

    　 （2）．如何求空间点面之间的距离？

    　 第 2 页 共 9 页 提示 点面距离的求法：

    　已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则点 B 到平面 α 的距离为 |BO→|＝|AB→ ||cos〈AB → ，n〉|=

    　[微点提醒] 1. 利用向量求线面角时要设线面角为  ，注意 sinθ＝ |a ·n||a||n|. 2. 利用两个平面的法向量求二面角时需分清法向量所成角与二面的关系，当两个法向量同时穿入或同时穿出二面角时，法向量所成角与二面角互补.当两个法向量一个穿入二面角另一个穿出二面角时，法向量所成角与二面角相等. 3. 在非正交基底的背景下可以利用基底思想求角度与长度； 基础自测 疑误辨析 1. 判断下列结论的正误（在括弧内打“√”或“×”）

    　（1）若两平面的法向量平行，则两平面平行．(

    　) （2）若空间向量 a 平行于平面 α，则 a 所在直线与平面 α 平行．(

    　) （3）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( ) （4）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(

    　) （5）两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(

    　)

    　教材衍化 2.(选修 2－1P112A4 改编)已知向量 m ， n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量，若 cos 〈 m ， n 〉＝－ 12 ，则 l 与 α 所成的角为(

    　) A.30°

    　 B.60°

    　 C.120°

    　 D.150°

    　 3.(2018·郑州调研)在正方体 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中，BB 1 与平面 ACD 1 所成角的正弦值为(

    　) A.32

    　 B.33

    　 C. 35

    　D. 25

    　 第 3 页 共 9 页 考题体验 4.(2019·南宁二中、柳州高中联考)在长方体 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB＝3，BC＝2，AA 1 ＝1，则异面直线 AB 1 与 BC 1 所成角的余弦值为________. 5.(2019·大连预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为________. 【考点聚焦突破】

    　考点一

    　 利用空间向量求角

    　角度 1

    　利用空间向量求异面直线所成角

    　【例 1-1】

    　(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱 ABC－A 1 B 1 C 1 中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC 1 ＝1，则异面直线 AB 1 与 BC 1 所成角的余弦值为(

    　) A.32

    　 B.155

    　 C.105

    　 D.33 【例 1-2】

    　(2019·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥 P－ABC 中，△ABC 和△PBC均为等边三角形，且二面角 P－BC－A 的大小为 120°，则异面直线 PB 和 AC 所成角的余弦值为(

    　) A. 58

    　B. 34

    　C. 78

    　D. 14

    　.

    　规律方法 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量 a ， b ；(3)代入公式|cos 〈 a ， b 〉|＝ || || ||b ab a求解. 2.两异面直线所成角的范围是 θ ]20， （  ，两向量的夹角 α 的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角. 【训练 1】

    　三棱柱 ABC－A 1 B 1 C 1 中，△ABC 为等边三角形，AA 1 ⊥平面 ABC，AA 1 ＝AB，N，M 分别是 A 1 B 1 ，A 1 C 1 的中点，则 AM 与 BN 所成角的余弦值为(

    　)

    　 第 4 页 共 9 页 A.110

    　B.35

    　 C.710

    　 D.45

    　 角度 2

    　利用空间向量求直线与平面所成角

    　【例 2】

    　(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥 P－ABC 中，AB＝BC＝2 2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点． (1)证明：PO⊥平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M－PA－C 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．

    　 规律方法 利用向量法求线面角的方法：

    　(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 【训练 2】

    　(2018·全国Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C到达点 P 的位置，且 PF⊥BF. (1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．

    　 第 5 页 共 9 页

    　 度 角度 3

    　用空间向量求二面角

    　【例 3】

    　如图，在四棱柱 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB∥CD，AB＝BC＝CC 1 ＝2CD，E 为线段 AB 的中点，F 是线段 DD 1 上的动点.

    　(1)求证：EF∥平面 BCC 1 B 1 ； (2)若∠BCD＝∠C 1 CD＝60°，且平面 D 1 C 1 CD⊥平面 ABCD，求平面 BCC 1 B 1 与平面 DC 1 B 1 所成角(锐角)的余弦值.

    　 【规律方法】

    　利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；

    　 第 6 页 共 9 页 第二步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第三步：计算向量的夹角(或函数值)，并转化为所求角． 【训练 3】（2014 新课标Ⅱ（18））. 如图，四棱锥 P ABCD  中，底面 ABCD 为矩形， PA 平面 ABCD ， E 为 PD 的中点。

    　（Ⅰ）证明：

    　PB //平面 AEC ; （Ⅱ）设二面角 D AE C   为 60 ， 1 AP  ， 3 AD  ，求三棱锥 E ACD  的体积.

    　 考点二

    　利用空间向量求解探索性问题

    　【例 4】

    　(2019·湖北重点中学协作体联考)等边△ABC 的边长为 3，点 D，E 分别是 AB，BC 上的点，且满足 ADDB ＝CEEA ＝12 (如图(1))，将△ADE 沿 DE 折起到△A 1 DE的位置，使二面角 A 1 －DE－B 成直二面角，连接 A 1 B，A 1 C(如图(2)).

    　 第 7 页 共 9 页

    　(1)求证：A 1 D⊥平面 BCED； (2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA 1 与平面A 1 BD所成的角为60°？若存在，求出 PB 的长；若不存在，请说明理由.

    　规律方法 解决此类问题的基本策略是执果索因，其结论明确需要求出使结论成立的充分条件，将题设和结论都视为已知条件即可迅速找到切入点，建立方程(组)并解方程(组)，若有解，则存在并求得结论成立的条件，若无解，则不存在.

    　 第 8 页 共 9 页 【训练 4】

    　如图，在四棱锥 P－ABCD 中，侧面 PAD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝2 2，E 为 CD 的中点，点 F 在线段 PB 上.

    　(1)求证：AD⊥PC； (2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等.

    　反思与感悟 [思维升华] 1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同.

    　 第 9 页 共 9 页 (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系. [易错防范] 1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角. 2.利用向量法求二面角大小的注意点 (1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明； (2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量是否已经隐含着，不用再求. (3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误.

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