2020年普通高等学校招生全国统一考试,(1)

时间：2020-11-19 10:21:13 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　年普通高等学校招生全国统一考试 3 3

　数

　学( ( 理科) )

　一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1．已知集合 {0,1,2,3,4} A  ，集合 { | 2 , } B x x n n A    ，则 A B  (

　) A． {0}

　B． {0,2,4}

　 C． {2,4}

　 D． {0,2}

　2．若复数3i(1 2iaz a R ， i 是虚数单位）是纯虚数，则 z 的值为(

　) A．2

　 B．3

　C． i 3

　 D． i 2

　3．在某次联考数学测试中，学生成绩  服从正态分布2(100, ( 0)    ，若  在 (80,120) 内的概率为 0.8 ， 则落在 (0,80) 内的概率为

　（

　）

　A. 0.05

　B. 0.1

　 C. 0.15

　D. 0.2

　4．命题 : p  R  x ， 0 12  x ，命题 : q R    ， 5 . 1 cos sin2 2    ，则下列命题中，真命题是（

　）

　A． q p

　B． q p 

　C． q p 

　 D． ) ( q p  

　5．已知数列 { }na 的前 n 项和为nS ，且满足2 12n n na a a   ，5 34 a a   ，则7S  （

　 ）

　A．7

　 B． 12

　 C．14

　D．21 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（

　 ）

　A．3

　B．11

　C．38

　 D．123

　 7．直线 l ：

　2 x my   与圆 M ：2 22 2 0 x x y y     相切， 则 m 的值为

　 (

　) A． 1 或 6 

　B． 1 或 7 

　 C． 1  或 7

　 D． 1 或17

　 8．已知曲线 1 ln 342   xxy 的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（

　）

　 A． 3

　 B． 2

　C． 1

　 D． 21 否开始1 a 22 a a  是10? aa  输出结束

　9． 已知直线 m 和平面 ,   ，则下列四个命题中正确的是（

　 ）

　A．若    ， m   ，则 m  

　 B． 若 // m  ， // m  ，则 //  

　C．若 //   ， // m  ，则 // m 

　 D． 若 //   ， m   ，则 m  

　 10．已知双曲线2 22 21( 0, 0)x ya ba b    的一个焦点到一条渐近线的距离为53c （ c 为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（

　）

　A．52

　B．32

　 C．3 52

　D． 3 5

　 11．若 , , a b c 均为单位向量，12   a b ， ( , ) x y x y   R c a b ，则 xy 的最大值是（

　 ）

　 A．1

　 B． 3

　C．2

　D． 2

　12．函数 ( ) f x 是定义在 R 上的偶函数，且满足 ( 2) ( ) f x f x   ．当 [0,1] x 时， ( ) 2 f x x  ．若在区间[ 2,3]  上方程 2 ( ) 0 ax a f x    恰有四个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是（

　）

　A．2 2( , )5 3

　B．2 4( , )3 5

　 C．2( ,2)3

　 D． (1,2)

　二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分． 13．设2 65 2 60 1(1 )(1 2 ) x x a a x a x a x       ，则2a 

　． 14．已知函数 sin( ) y x     ( 0,0 )2     的图象如图， 则  

　 ． 15．已知偶函数 ( ) f x 在 [0, )  上单调递减， (2) 0 f  ， 若 ( 1) 0 f x  ，则 x 的取值范围是_______.

　16．曲线3( ) f x xx  上任一点 P 处的切线与直线 0 x  和直线 y x  所围成的三角形面积为

　．

　三、解答题：

　17．（本小题满分 12 分）在等比数列 { }na 中，2 52, 16 a a   ． （1）求等比数列 { }na 的通项公式； （2）若等差数列 { }nb 中，1 5 8 2, b a b a   ，求等差数列 { }nb 的前 n 项的和nS ，并求nS 的最大值．

　 7π12π31y1x O

　18．（本小题满分 12 分）某次有 1000 人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85 分及其以上为优秀. （1）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数 a , b 的值； 区间 [75,80)

　[80,85)

　[85,90)

　[90,95)

　[95,100]

　 人数 50

　a

　350

　300

　b

　（2）现在要用分层抽样的方法从这 1000 人中抽取 40 人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （3）在（2）中抽取的 40 名学生中，要随机选取 2 名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为 X ，求 X 的分布列与数学期望.

　19．（本题满分 12 分）

　如图，四棱锥 P ABCD  中，底面 ABCD 为平行四边形， PA 底面 ABCD ， M 是棱 PD 的中点，且2 PA AB AC    ， 2 2 BC  ．

　 （1）求证：

　CD ⊥平面 PAC ； （2）如果 N 是棱 AB 上一点，且直线 CN 与平面 MAB 所成角的正弦值为105，求ANNB 的值

　20．（本题满分 12 分）已知抛物线22 ( 0) y px p   的准线与 x 轴交于点 ( 1,0) M  ． （1）求抛物线的方程，并写出焦点坐标； （2）是否存在过焦点的直线 AB （直线与抛物线交于点 A ， B ），使得三角形 MAB 的面积等于 4 2 ？若存在，请求出直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由 ．

　MPDCABN85 80 90 100 95 O频率组距分数 75

　21．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) 1xf x e ax   

　( a 为常数)，曲线 ( ) y f x  在与 y 轴的交点 A 处的切线斜率为 1  ． （1）求 a 的值及函数 ) (x f 的单调区间； （2）证明：当 0  x 时， 1 e2  xx； （3）证明：当N n 时，31 1 1 ( 1)1 ln2 3 (3e) nnn     ．

　请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号． 22．(本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程

　已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是22(24 22x tty t 是参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程 )4cos( 2    ． （1）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系； （2）设 M 为曲线 C 上任意一点，求 y x  的取值范围．

　23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲

　已知 ( ) | 2| f x x   ．

　 （1）解不等式 ( ) 3 0 xf x   ；

　 （2）对于任意的 ( 3,3) x  ，不等式 ( ) f x m x   恒成立，求 m 的取值范围．

　 年普通高等学校招生全国统一考试 3 3

　数

　学( ( 理科) )

　 答案

　 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B D C B B A D B D A 1．【解析】

　{ | 2 , } {0,2,4,6,8} B x x n n A     ，∴ {0,2,4} A B  ． 2． 解析】3i ( 3i)(1 2i) 6 3 2i1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5a a a az         ， ∵ z 是纯虚数， 6 a  ，∴ 3i z  ． 3．【解析】1(0 80) [1 (80 120] 0.12P P          ． 4．【解析】命题 p 真，命题 q 假，则命题 q  真，故选 D． 5．【解析】∵2 12n n na a a   ， ∴2 1 1 n n n na a a a     ，∴数列 { }na 为等差数列． ∵5 34 a a   ，∴3 54 a a   ， ∴1 7 3 577( ) 7( )142 2a a a aS    ． 6．【解析】第一次输出的值为21 2 3   ，第二次输出的值为23 2 11   ． 7．【解析】圆方程可化为2 2( 1) ( 1) 2 x y     ， ∴21 221mm  ，解得 1 m  或 7 m ． 8．【解析】1 32y xx  ，令1 3 12 2xx  ，解得 3 x ． ∴圆心到直线的距离等于半径， ∴21 221mm  ，解得 1 m  或 7 m ． 10．【解析】双曲线的渐近线方程为 0 bx ay   ， ∵双曲线一个焦点到渐近线的距离为53c ， ∴2 253bcca b，∴2254ba ， ∴2 2 22312c a b bea a a     ．

　11．【解析】

　, , a b c 均为单位向量， ∴ 1  = = a b c ，∵2 2( ) x y   c a b ，∴2 21 x y xy    ， ∴2 2( ) 1 3 3( )2x yx y xy    ， ∴2( ) 4 x y   ，∴ 2 2 x y     ． 12．【解析】画出 ( ) y f x  与直线 y ax a   的图象， 直线 2 y ax a   恒过定点 ( 2,0)  ， 由图可知 ( 2,0), (1,2), (3,2) P A B  ． ∴PB PAk a k   ，∴2 25 3a   ． 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分． 13． 30 【解析】5(1 2 ) x  的通项1 5 5(2 ) 2r r r r rrT C x C x  ， 22 15 52 12 2 1 1 30 a C C      ． 14．3【解析】∵74 12 3T    ，∴ T   ， 2   ． ∵7sin(2 ) 112     ，∴7sin( ) 16    ，∵2  ，∴3  ． 15． ( 1,3)  【解析】∵偶函数 ( ) f x 在 [0, )  上单调递减， (2) 0 f  ， ∴ ( ) 0 f x  ，可得 2 2 x    ，∵ ( 1) 0 f x  ， ∴ 2 1 2 x     ，解得 1 3 x    ． 16． 6

　【解析】∵3( ) f x xx  ，∴23( ) 1 f xx   ． 设0 0( , ) P x y ，则切线方程为0 0203(1 )( ) y y x xx    ， 令 0 x  ，得06yx  ． 由0 0203(1 )( )y xy y x xx    ，解得0022x xy x ．∴001 62 62S xx     ． 三、解答题：

　17．【解析】（1）在等比数列 { }na 中，设公比为 q ， ∵2 52, 16 a a   , 3A B2Oy1x P

　∴ 141216a qa q ，解得112aq ， ∴ 数列  na 的通项公式是 12 nna ． （2）在等差数列 { }nb 中，设公差为 d ．∵1 5 8 2, b a b a   , ∴1 58 2= 16=2b ab a ，∴1116+7 =2bb d ，∴1 =16= 2bd．

　 2 21( 1) 17 28917 ( )2 2 4nn nS bn d n n n         ， 当 8 n 或 9 时，nS 最大值为 72 ．

　18．【解析】（1）依题意， 0.04 5 1000 200 a    ， 0.02 5 1000 100 b    .

　 （2）设其中成绩为优秀的学生人数为 x ，则 350 300 10040 1000x   ，解得：

　30 x ， ∴优秀的学生人数为 30 名.

　（3）依题意，X 的取值为 0，1，2， 2102403( 0)52CP XC   ，1 110 302405( 1)13C CP XC   ，23024029( 2)52CP XC   ， ∴ X 的分布列为 X

　0

　1

　2

　P

　352 513 2952

　3 5 29 3( ) 0 1 252 13 52 2E X        ， ∴ X 的数学期望为32.

　 19．【解析】（1）证明：∵ 2 AB AC   ， 2 2 BC  ，

　∴2 2 2AB AC BC   ，∴ AB AC  ．

　∵ AB ∥ CD ，∴ AC CD  ．

　 ∵ PA 平面 ABCD ， CD 底面 ABCD ，∴ PA CD  ．

　∵ AC PA A  ，∴ CD ⊥平面 PAC ．

　 （2）以 A 为原点建立空间直角坐标系,如图，

　则 (0,0,0) A ， (2,0,0) B ， (0,2,0) C ， ( 2,2,0) D  ， (0,0,2) P ． ∵ M 是棱 PD 的中点，∴ ( 1,1,1) M  ．

　∴ ( 1,1,1) AM   ， (2,0,0) AB  ．

　设平面 MAB 的一个法向量为 ( , , ) x y z  n ， 由00AMAB   nn，得02 0x y zx    ， 取 1 y  ，∴ (0,1, 1)   n ． ∵ N 是在棱 AB 上一点， ∴设 ( ,0,0) N x ， ( ,2,0) NC x   ．

　设直线 CN 与平面 MAB 所成角为  ， ∴则22 10sin cos ,5 | | | |2 4NCNCBAx      nnn， 解得 1 x ，即 1 AN  ， 1 NB  ，∴ 1ANNB . 20．【解析】（1）由已知可得 12p   ， ∴ 2 p  ．∴抛物线的方程为24 y x  ，焦点坐标 (1,0) F ．

　（2 2 ）设直线 AB 的方程为 1 x ty   ， 由214x tyy x  ，得24 4 0 y ty    ．

　设1 1( , ) A x y ，2 2( , ) B x y ，则1 24 y y t + = ，1 24 y y ? - ． 1 21( )2MAB AMO BMOS S S MF y y     

　1 2y y  2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 y y y y y y      

　24 1 4 2 t    ，解得 1 t  ． 故直线 AB 的方程为：

　1 0 x y    或 1 0 x y    ． 21．【解析】（1）由 ( ) e 1xf x ax    ，得 ( ) e x f x a    . 又 (0) 1 1 f a      ，∴ 2 a  . ∴ ( ) e 2 1xf x x    ， ( ) e 2xf x    . 由 ( ) e 2 0xf x     ，解得 ln2 x  . ∴ 函数 ) (x f 在区间 ( ,ln2)  上单调递减，在 (ln2, )  上单调递增. x yzN BACDPM

　（2）证明：由（1）知ln2min( ) (ln2) e 2ln2 1 1 ln4 f x f       . ∴ ( ) 1 ln4 f x   ，即 e 2 1 1 ln4xx     ， e 2 2 ln4 0xx     . 令2( ) e 1xg x x    ，则 ( ) e 2 0xg x x     . ∴ ( ) g x 在 (0, )  上单调递增， ∴2( ) e 1 (0) 0xg x x g      ，即2e 1xx   .

　(2)首先证明：当 0 x  时，恒有31e3xx  . 证明如下：令31( ) e3xh x x   ，则2( ) e x h x x    . 由(2)知，当 0 x  时，2e x x  ， ∴ ( ) 0 h x  ，∴ ( ) h x 在 (0, )  上单调递增， ∴ ( ) (0) 1 0 h x h    ，∴31e3xx  . ∴31ln( )3x x  ，即 ln3 3ln x x   . 依次取2 3 1, , ,1 2nxn ，代入上式，则 2 2ln3 3ln1 1  ， 3 3ln3 3ln2 2  ，

　…… 1 1ln3 3lnn nn n   . 以上各式相加，有2 3 1 2 3 1ln3 3ln( )1 2 1 2n nnn n        

　∴  1 1 1(1 ) ln3 3ln 12 3n n nn        ， ∴  1 1 11 3ln 1 ln32 3n n nn        ， 即 31 1 1 11 ln2 3 3 en nnn     ． 22．【解析】（1）直线 l 的普通方程为 4 2 0 x y    ， 曲线 C 的直角坐标系下的方程为2 22 2( ) ( ) 12 2x y     ，

　圆心2 2( , )2 2 到直线 4 2 0 x y    的距离为5 25 12d    ， ∴直线 l 与曲线 C 的位置关系为相离．

　（2）设2 2( cos , sin )2 2M      ， 则 cos sin 2sin( ) [ 2, 2]4x y          ． 23．【解析】（1）

　( ) 3 0 xf x   ，即 2 3 0 x x   ， ∴2 0(2 ) 3 0xx x    ， 或2 0( 2) 3 0xx x    ，

　 解得 1 2 x    ，或 2 x  ，∴不等式解为 ( 1, )   ． （2）∵ ( ) f x m x   ，∴ ( ) f x x m   ． ∴ 2 x x m    ， ( 3,3) x  恒成立， 设 ( ) 2 g x x x    ，则

　2 2 , 3 0,( ) 2, 0 2,2 2, 2 3.x xg x xx x          

　 ( 3,0] x  时， 2 ( ) 8 g x   ；

　 (0,2] x 时， ( ) 2 g x  ；

　 (2,3) x 时， 2 ( ) 4 g x   ；

　∴ ( 3,3) x  时， 2 ( ) 8 g x   ，

　∴ 8 m 时，不等式 ( ) f x m x   在 ( 3,3)  上恒成立．