信息卷一(定稿)

时间：2021-02-12 22:53:55 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　永州市 2019 年高考信息卷（一）

　数学（理科）

　组卷：申俭生（永州三中）

　王勇波（祁阳一中）

　郭志成（永州四中）

　杨迪虹（永州一中）

　审稿：蒋

　健（市教科院）

　注意事项：

　1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，只交答题卡.

　 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内．）

　1．（东安一中陈全伟）设复数 z 满足 1 i z i    ，则 z 的共轭复数为 A． 1 i  

　B． 1 i 

　 C． 1 i  

　D． 1 i 

　2．（永州一中屈波）若集合 1 A x y x    ， 22 3 B y y x x     ，则 A B 

　A．   1,

　B．   1,

　C．   2,

　D．   2,

　3．（永州一中屈波）设向量1(1 sin )2a x   ， ，3( sin 1)2b x   ， ，则“ a∥ b”是“6x ”的

　A．充分非必要条件

　 B．必要非充分条件 C．充分必要条件

　D．既非充分又非必要条件. 4．（江华一中汪峰）下列说法中正确的是 A．若样本数据 x 1 ，x 2 ，…，x n 的平均数为 5，则样本数据 2x 1 ＋1，2x 2 ＋1，…，2x n ＋1 的平均数为 10． B．用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加某项活动，若抽取的学号为 5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为 60． C．某种圆环形零件的外径服从正态分布 N（4，0.25）（单位：cm），质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为 5.6 cm，则这批零件不合格． D．对某样本通过独立性检验，得知有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有 95%的人可能患肺病． 5．（江永一中吴永波）为美化环境，从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A．13

　B．12

　C． 23

　D．56 6．（江永一中吴永波）在 ABC  中， AB AC AB AC    ， 4,2 AB AC   ， , E F

　为 BC 的三等分点，则 AE AF 

　A．89

　B．289

　C．259

　D．409

　7．（江华二中蒋团好）已知直线 2 ( 3) 4 0( ) x y m m R      恒过定点 P，若点 P 平分圆2 22 4 4 0 x y x y      的弦 MN，则弦 MN 所在直线的方程是 A．x＋y－5＝0

　B．x＋y－3＝0

　C．x－y－1＝0

　D．x－y＋1＝0 8．（永州一中屈波）数列 { }na 的首项为 3， } {nb 为等差数列且1( )n n nb a a n N    ， 若32 b   ，1012 b  ，则13a 

　A．60

　B．63

　C．66

　D．69 9．（永州一中屈波）定义在 R 上的函数 ( ) f x 满足 ( ) ( ) f x f x   ， ( 1) f x 是偶函数，且当 [0,1] x 时 ( ) (2 ) f x x x   ，则15( )2f 

　 A．34

　 B．34

　C．32

　 D．32 10．（江永一中吴永波）已知定义在   1,1  上的函数1( ) 3 ( ) sin3x xf x x   ，则满足不等式(2 ) (1 ) 0 f x f x    的 x 的取值范围是 A．1 1[ ]3 2，

　B．1( ,1)2

　 C．1 1 ]3 2（ ，

　D．1[3 ，12) 11．（江华二中蒋团好）已知抛物线 C：28 y x  的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与曲线 C 相交于 M，N 两点，若 3 , PF MF  则|MN|＝ A．212

　B．323

　C．10

　D．11 12．（祁阳一中王勇波）已知函数23( ) lnln 3xf x e x x kxe x x   有三个不同的零点，则 k 的取值范围 A．3(0, )4

　 B．3[0, )4

　 C．1[ ,1)2

　D．3(2 3 4, )4

　 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上．）

　13．（祁阳一中王勇波）41( 1) xx 

　的展开式中，x 的系数为

　 （用数字作答）． 14．（江华二中蒋团好）已知双曲线2213xy  

　的左、右焦点分别为1 2, , F F 点 P 在双曲线上，且满足1 22 5, PF PF   则1 2PFF  的面积为

　 ．

　15．（祁阳一中王勇波）祖暅（456 年~536 年）提出：“幂势相同，则积不容异”，意思是界于两个平行平面之间的两个立体图形，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等,则这两个立体的体积相等．俗称祖暅原理．实际上早在公元 263 年我国魏晋大数学家刘徽在《九章算术》中就提及，刘徽为了求球的体积，创造性构造了一个立体图形：两个底面半径相同圆柱体（如图一）垂直相交，它们的公共部分．．．．叫做牟合方盖（如图二），它的三视图如图三，作出此牟合方盖的内切球，并用任意水平平面截牟合方盖与内切球，得到它们的截面分别是正方形与圆（如图四），且圆恰好是正方形的内切圆，由此刘徽得出牟合方盖的体积与它的内切球的体积比是

　 ．

　（图一）

　 （图二）

　 （图三）

　（图四）

　16．（祁阳一中王勇波）函数 ( ) sin( )( 0)6f x x     在区间 [ ,2 )   有最大值但无最小值，则  的取值范围是

　 ． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

　17．（永州四中郭志成）（本小题满分 12 分）已知数列 { }na 前 n 项和 S n 满足2 2( )n nS a n N    ， { } nb 是等差数列，且3 4 1 6 42 , a b b b a   ．

　（1）求 { }na 和 { }nb 的通项公式：

　（2）求数列2{( 1) }nnb  的前 2n 项和2nT．

　 18．（东安一中陈全伟）（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P ABCD  ， / / AB CD ，90 BCD    ， 2 2 4 AB BC CD    ， PAB △ 为等边三角形，平面 PAB 平面 ABCD ，Q 为 PB 中点． （1）求证：

　AQ  平面 PBC； （2）求二面角 B-PC-D 的余弦值．

　 19．（永州一中屈波）（本小题满分 12 分）已知椭圆2 212 2: 1( 0)x yC a ba b    的左、右焦点分别为1 2F F ， ，且2F 为抛物线22 :2 ( 0) C y px p   的焦点，2C 的准线交椭圆1C 于A B ， 两点，且 | | 3 AB  ，2ABF  的周长为 8. （Ⅰ）求1C 和2C 的方程； （Ⅱ）已知直线 l 与抛物线2C 相切（切点异于原点），且 l 与椭圆1C 相交于 N M, 两 点，若椭圆1C 上存在点 Q，使得2 77OM ON OQ   ，求直线 l 的方程.

　20．（江永一中吴永波）（本小题满分 12 分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年．如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装．

　其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个 80 元，二级滤芯每个 160 元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个 200 元，二级滤芯每个 400 元．现需决策安装净水系统的俯视图侧视图 正视图QPCDBA（第 18 题图）

　同时购滤芯的数量，为此参考了根据 100 套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据 200 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据 100 个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表．

　二级滤芯更换频数分布表 二级滤芯更换的个数 5 6 频数 60 40

　以 200 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以 100个二级过滤器更换滤芯的频率代替 个二级过滤器更换滤芯发生的概率． （1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30 的概率； （2）记 X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求 X 的分布列及数学期望； （3）记 m，n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．若 28 m n   ，且   5,6 n ，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定 m，n 的值．

　21．（祁阳一中王勇波）（本题满分 12 分）设函数 ( ) sin , [0, ]2f x ax x x   ． （1）讨论 ( ) f x 的最大值； （2）设 ( ) f x ≥ 1 3cosx  ,求 a 的取值范围．

　 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（东安一中陈全伟）【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）

　在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为1232x ty a t  （t 为参数， aR ），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4cos    ，射线  03   与曲线 C 交于 O，P 两点，直线 l 与曲线 C 交于 A B ， 两点． （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）当 AB OP  时，求 a 的值．

　23．（江华一中汪峰）【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）已知函数 f（x）＝|x＋a|＋|x－2|，其中 a 为实常数． （1）若函数 f（x）的最小值为 3，求 a 的值； （2）若当 x∈[1，2]时，不等式 f（x）≤|x－4|恒成立，求 a 的取值范围．

　 永州市 2019 年高考信息卷（一）

　数学(理科)参考答案

　一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B C C D A B A C B A

　二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上．）

　13．－8

　14．1

　 15．4

　16．4 5 16 11( , ] ( , ]9 6 9 6 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

　17．解：（1）

　2 2n nS a   ， 当 1 n 时，得12 a  ，

　 …………………………………………………1 分 当 2 n 时，1 12 2n nS a   ，

　作差得 12n na a ， ( 2) n 

　所以数列 { }na 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列, 所以 2 nna  .

　………………………………………………3 分 设等差数列 { }nb 的公差为 d ， 由3 4 12 a b b   ，6 4b a  ， 所以18 3d b   ，116 5d b   ， 所以 3 d  ，11 b  ， 所以 3 2nb n   .

　 ………………………………………………6 分 （2）2 2 2 2 2 22 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( )n n nT b b b b b b        

　1 2 3 4 2 1 23( ) 3( ) 3( )n nb b b b b b     

　…………8 分 又因为 3 2nb n   ， 1 2 3 4 2 1 2 1 2 23( ) 3( ) 3( ) 3( )n n nb b b b b b b b b        

　所以  21 222 ( )3 3 1 3 (2 ) 2 18 32nnn b bT n n n n        .

　…………12 分

　 18．（本小题满分 12 分）

　（1）证明：因为 // AB CD ， 90 BCD    ， 所以 AB BC  ，

　又平面 PAB 平面 ABCD ， 且平面 PAB 平面 ABCD AB  ， 所以 BC ⊥平面 PAB ，

　又 AQ  平面 PAB ，所以 BC ⊥ AQ ，

　因为 Q 为 PB 中点，且 PAB △ 为等边三角形， 所以 PB ⊥ AQ ，

　又 PB BC B  I ，所以 AQ  平面 PBC

　 …………………………4 分 （2）解法一：取 AB 中点为 O ，连接 PO ，因为 PAB △ 为等边三角形，所以 PO ⊥ AB ， 由平面 PAB ⊥平面 ABCD ，所以 PO ⊥平面 ABCD ，所以 PO ⊥ OD ， 由 2 2 4 AB BC CD    ， 90 ABC    ，可知 // OD BC ，所以 OD AB  ． 以 AB 中点 O 为坐标原点，分别以 , , OA OD OP 所在直线为 , , x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz  .

　所以       2,0,0 , 0,2,0 , 2,2,0 , A D C    0,0,2 3 , 2,0,0 P B  ， 所以   2,2,0 , 0, 2,2 3 , AD DP       2,0,0 CD  ，

　由(1)知，可以 AQuuur为平面 PBC 的法向量， 因为 Q 为 PB 的中点，所以 1,0, 3 Q  ， 由(1)知，平面 PBC 的一个法向量为 3,0, 3 AQ  uuur，

　设平面 PCD 的法向量为   , , n x y z  ， 由0,0n CDn DP   得2 02 2 3 0xy z    ， 取 1 z  ，则 0, 3,1 n  ， 所以23 1cos ,43 3 3 1AQ nAQ nAQ n     uuur ruuur ruuur r ， 因为二面角 B PC D   为钝角， OzyxQPCDBAQPCDBA(第 18 题图)

　所以，二面角 B PC D   的余弦值为14

　…………………………………12 分 解法二：过点 B 作 PC 的垂线 BH ，交 PC 于点 H ，连结 DH .由解法一知 PO ⊥平面 ABCD ， CD  平面 ABCD ，所以 PO CD  .由条件知 OD CD  ， 又 PO OD O  ，所以 CD ⊥平面 POD ， 又 PD  平面 POD ，所以 CD PD ⊥ ， 又 CD CB  ，所以 Rt PDC Rt PBC △ ≌ △ ， 所以 DH PC ⊥ ， 由二面角的定义知，二面角 B PC D   的平面角为 BHD  . 在 Rt PDC △ 中， 4, 2 PB BC   ， 2 5 PC  ， 由 PB BC BH PC    ，所以4 2 4 55 2 5PB BCBHPC    . 同理可得4 55DH  ， 又 2 2 BD  .在 BHD △ 中， 2 2 2cos2BH DH BDBHDBH DH  ∠

　2 224 5( ) (2 2)154 4 52( )5    .

　…………………………12 分

　19．解：（1）由题得2234 8baa 2, 3, =2 2 a b p c    ， 故2 221 2: 1, : 44 3x yC C y x    …………………………………………………4 分 （2）由题知 l 存在斜率且不为 0，设 ), 0 ( :    m n my x l ) , ( ), , ( ), , (0 0 2 2 1 1y x Q y x N y x M

　 联立24x my ny x  24 4 0 y my n    ，因为 l 与2C 相切，故210 0 m n     

　HOQPCDBA

　联立2 23 4 12x my nx y   2 2 2(3 4) 6 3 12 0 m y mny n      ， 方程的两根为2 1 , yy ，所以 21 2 1 22 26 3 12,3 4 3 4mn ny y y ym m    

　 2 220 3 4 3 4 ( 4,1) n m n n            ，又20 m n    ， 因此 ) 0 , 4 (  n

　 由2 77OM ON OQ   1 2 01 2 02 772 77x x xy y y  由韦达定理代入， 得02024 73 43 73 4nxmmnym   ，

　而点 ) , (0 0y x Q 在椭圆上，即2 20 03 4 12 x y   ，代入得 2 2 22 22 2 2 248 7 36 712 7 3 4, ( 4,0)(3 4) (3 4)n m nn m nm m        ，解得 1 n

　或47n  （舍去）

　故直线方程为 1 0 x y    或 1 0 x y   

　 …………………………12 分

　20．解：（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换 12 个滤芯，二级过滤器需要更换 6 个滤芯．设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30”为事件 ． 因为一个一级过滤器需要更换 12 个滤芯的概率为 0．4，二级过滤器需要更换 6 个滤芯的概率为 0．4， 所以 ( ) 0.4 0.4 0.4 0.064 P A     ．

　（2）由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为 10,11,12 的概率分别为0．2,0．2,0．4． 由题意， 可能的取值为 20,21,22,23,24，并且 ( 20) 0.2 0.2 0.04 P X    ， ( 21) 0.2 0.4 2 0.16 P X     ， ( 22) 0.4 0.4 0.2 0.4 2 0.32 P X       ， ( 23) 0.4 0.4 2 0.32 P X     ， ( 24) 0.4 0.4 0.16 P X    ． 所以 的分布列为 X 20 21 22 23 24 p

　0.04 0.16 0.32 0.32 0.16 20 0.04 21 0.16 22 0.32 23 0.32 24 0.16 22.4 EX           ． （3）【解法一】

　因为   28, 5,6 m n n    ，若 22, 6 m n   ， 则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 22 80 200 0.32 400 0.16 6 160 2848        ； 若23, 5 m n  

　则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 23 80 200 0.16 5 160 400 0.4 2832         ． 故, m n 的值分别为 23，5． 【解法二】因为   28, 5,6 m n n    ，若 22, 6 m n   ， 设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为 Y 1 （单位：元），则 Y 1

　1760 1960 2160 p

　0.52 0.32 0.16 11760 0.52 1960 0.32 2160 0.16 1888 EY        ．

　设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为2Y （单位：元），则 2 26 160 960, ( ) 1 960 960 Y E Y       ， 所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 1 2( ) ( ) 1888 960 2848 E Y E Y     ． 若 23, 5 m n   。

　设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为 Z 1 （单位：元），则 Z 1

　1840 2040 p

　0.84 0.16 1( ) 1840 0.84 2040 0.16 1872 E Z      ． 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为 Z 2 （单位：元），则 Z 2

　800 1200 P 0.6 0.4 2( ) 800 0.6 1200 0.4 960 E Z      ． 所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 1 2( ) ( ) 1872 960 2832 E Z E Z     ． 故, m n 的值分别为 23，5．

　21．解：（1）

　"( ) cos f x a x   ， ①当 a≥1 时， "( ) cos f x a x   ≥0， ( ) f x 在 [0, ]2上单调递增，x＝2时， ( ) f x 的最大值是 12a ； ②当 a≤0 时， "( ) cos f x a x   ≤0， ( ) f x 在 [0, ]2上单调递减，x＝0 时， ( ) f x 的最大值是 0； ③当 0＜a＜1 时，存在 x 0 ∈ [0, ]2有0 0"( ) cos 0 f x a x    ，当0(0, ) x x  时，"( ) 0 f x  ， ( ) f x 单调递减；当0( , )2x x 时， "( ) 0 f x  ， ( ) f x 单调递增．则 ( ) f x

　的最大值是 (0) f 与 ( )2f的较大者，若 12a ＞0，即2≤a＜1， ( ) f x 有最大值12a ；若 0＜a＜2， ( ) f x 有最大值 0． 综上所述，当 a≥2时， ( ) f x 有最大值是 12a； 当 a＜2时， ( ) f x 有最大值是 0． （2）由 ( ) 1 3cos f x x   ，得 sin 3cos 1 ax x x   ， 若 x=0 不等式显然成立，

　当 0＜x≤2，得sin 3cos 1 x xax  ，令sin 3cos 1( )x xg xx  ， 2( 3 1)sin ( 3)cos 1"( )x x x xg xx    ， 令 ( ) ( 3 1)sin ( 3)cos 1 h x x x x x      ， "( ) 3 cos sin ( 3cos sin ) 2 cos( )6h x x x x x x x x x x      ， 当 0＜x＜3时， "( ) 0 h x  ， ( ) h x 单调递增；当3＜x＜2时， "( ) 0 h x  ， ( ) h x 单调递减． (0) h ＝ 3 1 0   ， ( )2h＝32 02  ，知当 0＜x＜2时， ( ) h x ＞0， "( ) 0 g x  ， ( ) g x 在（0， 2］上单调递增， ( ) g x 的最大值是4( )2g ．则 a 的取值范围是 a ≥4．

　请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．解：（1）将直线 l 的参数方程化为普通方程为 3 0 x y a    ……………………2 分 由 4cos    ，得24 cos     ，………………………………………3 分 从而2 24 x y x   ，即曲线 C 的直角坐标方程为2 24 0 x x y   

　……5 分 （2）由 4cos03     ，得 2,3P    ，所以 2 OP  ，

　将直线 l 的参数方程代入圆的方程2 24 0 x x y    ， 得 2 22 3 0 t a t a    

　由 0   ，得 2 3 4 2 3 4 a     …………………………………………8 分 设 A、B 两点对应的参数为1 2, t t ， 则  221 2 1 2 1 2AB 4 4 4 3 2 t t t t t t a a         

　 解得， 0 a  或 4 3 a  .

　所以，所求 a 的值为 0 或 4 3 .………………………………………………10 分

　23．解：（1）因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|， 当且仅当(x＋a)(x－2)≤0 时取等号，则 f(x) min ＝|a＋2|. 令|a＋2|＝3，则 a＝1 或 a＝－5. ……………………………………………5 分 （2）当 x∈[1，2]时，f(x)＝|x＋a|＋2－x，|x－4|＝4－x. 由 f(x)≤|x－4|，得|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2， 即―x－2≤a≤－x＋2. 所以(－x－2) max ≤a≤(－x＋2) min . 因为函数 y＝－x－2 和 y＝－x＋2 在[1，2]上都是减函数，则当 x＝1 时， (－x－2) max ＝－3； 当 x＝2 时，(－x＋2) min ＝0，所以 a 的取值范围是[－3，0] ……………10 分