第三章,函数概念及其基本性质单元测试（提升卷）（解析版）

时间：2021-01-06 10:14:53 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　第一册第三章函数的概念及其基本性质单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

　一、单选题 1 ． 函数23( ) 92 1xf x xx  的定义域为（

　）

　）

　A ． 1- - 3,2     , B ．  1- - 3,2    , C ．1- 32  , D ．1- 32   , 【答案】C 【解析】

　【分析】

　由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得答案 【详解】

　依题有，2302 19 0xxx    1323 3xx    132x    . 故选：C. 【点睛】

　此题考查求具体函数的定义域，属于基础题 2 ． 设集合 P={x|0≤x≤2} ， Q={y|0≤x≤2} ，则图中能表示 P P 到 到 Q Q 的函数的是

　A． ． （1 1 ）（2 2 ）（3 3 ）（4 4 ）

　B． ． （3 3 ）（4 4 ）

　C． ． （4 4 ）

　D． ． （3 3 ）

　【答案】C 【解析】

　【分析】

　根据函数的定义，在定义域内的任何一个 x 值，都有唯一确定的 y值与之对应，且函数的定义域和值域不能为空集，根据这一定义得到结果. 【详解】

　根据函数的定义，在定义域内的任何一个 x 值，都有唯一确定的 y 值与之对应，（1）、（2）中定义域

　试卷第 2 页，总 21 页 内的 1 对应了 2 个函数值，故（1）、（2）不表示函数；（3）中定义域（1，2]内的 x 值，没有与之对应的 y 值，故（3）错误， 故选 C． 【点睛】

　这个题目考查了函数的概念和图像，函数中一个 x 对应一个 y值，一个 y值可以对应 2 个 y值． 3 ． 已知函数23 4( )x xf xx  ，对于任意12x  时下列说法正确的是（

　）

　A ．为 函数最小值为 7 B ． 函数最小值为232 C ．为 函数最大值为 7 D ． 函数最大值为232 【答案】A 【解析】

　【分析】

　将函数( ) f x 化简为4( ) 3 f x xx   ，再结合对勾函数的单调性即可求解． 【详解】

　由题意可知，23 4 4( ) 3x xf x xx x     ， 由对勾函数可知，函数( ) f x 在1,22   上单调递减，在   2, 上单调递增，

　所以当 2 x  时，函数( ) f x 取得最小值，最小值为  2 7 f  ，没有最大值．

　故选：A． 【点睛】

　本题主要考查了函数最值的求解，要注意对勾函数单调性的应用． 4 ． 已知函数( ) f x 对于任意1 2x x  ，满足1 21 2( ) ( )0f x f xx x，则满足条件的函数可以是（

　）

　A ． 21 y x   

　B ．1( 0) y xx 

　C ．2 (0) y x x  

　D ． | | y x 

　【答案】C 【解析】

　【分析】

　根据函数单调性的定义，可得函数在 R上为增函数，对选项一一判断即可. 【详解】

　已知函数( ) f x 对于任意1 2x x  ，满足1 21 2( ) ( )0f x f xx x，根据函数单调性的定义，得函数是一个在 R上的增函数. 选项 A，函数 2 1 y x    在 R 上的减函数，所以不满足条件； 选项 B，函数1( 0) y xx  在   0,   上递减，所以不满足条件； 选项 C，函数2 (0) y x x   在   0,   上递增，所以满足条件； 选项 D，函数 | | y x  在   ,0  上递减，在   0, 上递增，所以不满足条件. 故选：C 【点睛】

　本题考查了函数的单调性的性质及应用，属于基础题. 5 ． 设  ,( )max , ,,( )a a ba bb a b  则函数2 2( ) max{ ,1 }    f x x x x 的单调增区间为（

　）

　）

　A ．1[ 1,0],[ , )2 

　B ．1( , 1],[0, ]2 

　C ．1( , ],[0,1]2 

　D ．1[ ,0],[1, )2 

　【答案】D 【解析】

　【分析】

　由2 21 x x x   ，解出 x 的值，作出两个函数的图像，当 1  x 或12x   时， 2 2 2( ) max , 1 f x x x x x x      据此可得此时函数的递增区间，当 2 2 211, ( ) ,1 12x f x max x x x x         ，据此可得此时函数的递增区间，综合即可得到结论. 【详解】

　由2 21 x x x   得22 1 0 x x   ，解得 1 x 或12x   ， 当 1  x 或12x   时，  2 2 2( ) max , 1 f x x x x x x      此时函数的递增区间为 [1, )  , 当  2 2 211, ( ) ,1 12x f x max x x x x         ，此时函数的递增区间为1,02   ， 综上所述函数的递增区间为1[ ,0],[1, )2  . 故选：D

　试卷第 4 页，总 21 页

　【点睛】

　本题考查函数单调区间，解题的关键是掌握函数单调性及单调区间的求法，属于中档题. 6 ． 偶函数   f x 对于任意实数 x ，都有    2 2 f x f x   成立，并且当 2 0 x    时，  2 f x x   ，则下列结论错误的是（

　）. A ．9 52 2f    B ． 函数   f x 是 的最大值是 4 C ． 函数   f x 的图象关于直线 1 x对称 D ． 方程   2 f x  的解集是    4 x x k k  Z

　【答案】C 【解析】

　【分析】

　求出函数   f x 是以 4 为周期的周期函数，可判断 A；作出函数的图象可判断 B，C，D 的正误； 【详解】

　对任意实数 x 都有         4 2 2 2 2 f x f x f x f x                ， 由于   f x 为偶函数，所以     f x f x   . 所以     4 f x f x   . 所以函数   f x 是以 4 为周期的周期函数. 所以9 1 1 1 1 54 22 2 2 2 2 2f f f f                                   .故 A 项正确； 作出函数   f x 的大致图象如下：

　 观察图象可知，函数   f x 的最大值是 4，故 B 项正确； 函数   f x 的图象不关于直线 1 x 对称，故 C 项错误； 方程   2 f x  的解依次是 8, 4,0,4,8,   ， 即方程   2 f x  的解集是     4 x x k k  Z .故 D项正确. 故选：C. 【点睛】

　本题考查抽象函数和具体函数相结合的图象和性质，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 7 ． 如图, , 将一张边长为 1 的正方形纸 ABCD 折叠, , 使得点 B 始终落在边 AD 上, , 则折起的部分的面积最小值为

　A ．14 B ．38 C ．25 D ．12 【答案】B 【解析】

　【分析】

　设 AB x，可证明 MQB BAB、 Rt MRN Rt BAB   ，从而可求  2112B M x    、 2 112C N x    ，从而可得所求梯形 MNCB   的面积表达式为21 1 32 2 8S x     ，从而可求其最小值. 【详解】

　如图，

　试卷第 6 页，总 21 页

　过 N 作 NR AB  与 R ，则 1 RN BC   ，连BB，交 MN 于 Q ， 则由折叠知，MBQ V与 MBQ关于直线 MN 对称，即 MBQ MBQ ， 有 BQ BQ ， MB MB  ， MQ BB  ， ∵ A MQB    ， ABQ ABB   ，∴ MQB BAB， ∴

　AB AB BBMQ BQ MB  ， 设 AB x，则21 BB x，2112BQ x   ， 代入上式得：

　 2112BM BM x     ， ∵ 90 MNR BMQ     ， 90 ABB BMQ     ， ∴ MNR ABB   ，在 Rt MRN 和 Rt BAB  中， ∵

　90MNR ABBRN ABA NRM       ，∴ Rt MRN Rt BAB   ，∴ MR AB x    ， 故  2112C N CN BR MB MR x x          2 112x   ， ∴梯形 MNCB   的面积为      222 21 1 1 1 1 1 3[ 1 1 ] 1 12 2 2 2 2 2 8S x x x x x             ， 得当12x  时，梯形面积最小，其最小值38， 故选：B． 【点睛】

　本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，先证明 MQB BAB，再利用相似三角形的性质得出 CN  的长，再表示出求出梯形 MNCB   面积，进而求出最小值. 8 ． 函数22 3 y x x x    的值域为（

　）．

　A ．  1,

　B ．   2,

　C ．   3,

　D ．  1 2,  【答案】A 【解析】

　【分析】

　函数22 3 y x x x    ，可得22 3 y x x x     ，两边平方，即可求解． 【详解】

　解：函数2 22 3 ( 1) 2 y x x x x x         ，可知函数的定义域为 R ． 当 1 x… 时，可知函数 y 是递增函数，可得 1 2 y  …

　当 1 x„ 时，可得22 3 0 y x x x     … ， 两边平方， 0 y x  … ， 即1 y ；  22 2( ) 2 3 y x x x      ， 可得：2 2 22 2 3 x xy y x x      ， ( 1) y 

　2312 2yxy „．得 y R  ． 由2 23 2 302( 1) 2 2y y yy x yy y      … ， 1 y  ． 22 3 0 y y    …

　可得：

　y R 

　综上可得1 y ．  函数22 3 y x x x    的值域为 (1 )  ． 故选：

　A ． 【点睛】

　本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．

　二、多选题

　试卷第 8 页，总 21 页 9 ． 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（

　））

　A ． ( ) || f x x  与2( ) g x x  B ． ( ) 1 f x x   与21( )1xg xx C ．| |( )xf xx 与1, 0( )1, 0xg xx    D ．2( ) 1 f x x  与 ( ) 1 1 g x x x   

　【答案】AC 【解析】

　【分析】

　根据同一函数满足定义域与对应法则与值域均相等判断即可. 【详解】

　对 A, 2( ) g x x x   ,故 A正确. 对 B, ( ) 1 f x x   定义域为 R ,21( )1xg xx定义域为   | 1 x x  ,故 B 错误. 对 C, 1, 0( )1, 0x xf xx x    ,故 C 正确. 对 D, 2( ) 1 f x x  定义域为21 0 x  ,解得 1 x 或 1 x  . ( ) 1 1 g x x x   定义域为1 01 0xx   即 1 x  .故 D错误. 故选：AC 【点睛】

　本题主要考查了同一函数的判定,需要分析函数的定义域与对应法则等.属于基础题. 10． ． 已知函数   f x 对任意 xR 都有       4 2 2 f x f x f    ，若   1 y f x   的图象关于直线1 x 对称，且对任意的1x ，  20,2 x  ，且1 2x x  ，都有   1 21 20f x f xx x，则下列结论正确的是（

　）． A ．   f x 是偶函数 B ．   f x 的周期 4 T 

　C ．   2022 0 f 

　D ．   f x 在   4, 2   单调递减 【答案】ABC 【解析】

　【分析】

　由   1 y f x   的图象关于直线 1 x 对称，则 (1 1) (1 1) f x f x      ，即 ( ) ( ) f x f x   ，故( ) f x 是偶函数，可判断 A 的正误；由      4 2 2 f x f x f    ，令 2 x ，可得 (2) 0 f  ，则( 4) ( ) f x f x   ，得到 ( ) f x 的周期，可判断 B 的正误；又 ( ) f x 在 (0,2) 递增，结合奇偶性，周期性，再判断 CD是否正确. 【详解】

　由   1 y f x   的图象关于直线 1 x 对称，则 (1 1) (1 1) f x f x      ， 即 ( ) ( ) f x f x   ，故( ) f x 是偶函数，A 正确； 由       4 2 2 f x f x f    ，令 2 x ，可得 (2) 0 f  ，则 ( 4) ( ) f x f x   ， 则( ) f x 的周期4 T ，B 正确；   2022 (4 505 2) (2) 0 f f f      ，故 C 正确； 又( ) f x 在 (0,2) 递增，则 ( 2,0) 递减，由周期4 T ，则   f x 在   4, 2   单调递增， 故 D 错误. 故答案为：ABC 【点睛】

　本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题. 11 ． 设函数   f x 为 是定义域为 R ，且周期为 2 的偶函数，在区间[0 ，1] 上，  2 ,,x x Mf xx x M  ，其中集合 { | , }1mM xmN x m   ，则下列结论正确的是(

　) A ．4 43 9f    B ．   f x 在 在[2m ，2m+1](m ∈N) 上单调递增 C ．   f x 在 1,1 2     m mm Nm m内单调递增 D ．   f x 的值域为[0 ，1] 【答案】AC 【解析】

　【分析】

　试卷第 10 页，总 21 页 A. 利用函数的奇偶性和周期性求解.B. 当 0 m 时， [2m，2m+1]   0,1  ，取特殊值1 21 1,3 2x x  验证. C. 根据10 11 2   m mm m，且1,1 2  m mM Mm m，则1,1 2     m mxm m， x M  ，由   f x x  求解.D. 根据特殊点1 1,2 2   验证. 【详解】

　A. 4 4 2 2 423 3 3 3 9                          f f f f ，故正确. B. 当 0 m 时， [2m，2m+1]  0,1  ，因为在[0，1]上，  2 ,,x x Mf xx x M  ，当1 21 1,3 2    x M x M 时，1 1 1 1,3 3 2 4          f f ，1 13 2f f         ，所以   f x 不单调递增，故错误. C. 因为10 11 2   m mm m，且1,1 2  m mM Mm m，则1,1 2     m mxm m， x M  ，所以  f x x  ，所以   f x 在  1,1 2     m mm Nm m内单调递增，故正确. D. 当12  x M 时， 21 12 4    f x ，但从  f x x  图象上挖走1 1,2 2   时，若  2 12 x 时，解得22  x M ，所以 12

　[0，1]，   f x 的值域不是[0，1]，故错误. 故选：

　AC 【点睛】

　本题主要考查分段函数的图象和性质，还考查了分析转化求解问题的能力，属于中档题. 12 ． 在平面直角坐标系 xOy 中，如图放置的边长为 2 的正方形 ABCD 沿 x 轴滚动（无滑动滚动），点 D 恰好经过坐标原点，设顶点   , B x y 的轨迹方程是   y f x  ，则对函数   y f x  的判断正确的是(

　 )

　A ． 函数   y f x  是奇函数 B ． 对任意的 xR ，都有    4 4 f x f x   

　C ． 函数   y f x  的值域为0,2 2   D ． 函数   y f x  在区间   6,8 上单调递增 【答案】BCD 【解析】

　【分析】

　根据正方形的运动，得到点   , B x y 的轨迹，作出对应函数图像，根据图像，即可得出结果. 【详解】

　由题意，当 4 2 x    时，顶点   , B x y 的轨迹是以点 ( 2,0) A  为圆心，以 2 为半径的14圆；

　当 2 2 x    时，顶点   , B x y 的轨迹是以点(0,0) D为圆心，以 2 2 为半径的14圆； 当 2 4 x   时，顶点   , B x y 的轨迹是以点 (2,0) C 为圆心，以 2 为半径的14圆； 当 4 6 x   ，顶点   , B x y 的轨迹是以点 (4,0) A 为圆心，以 2 为半径的14圆，与 4 2 x    的形状相同，因此函数   y f x  在   4,4  恰好为一个周期的图像； 所以函数   y f x  的周期是 8 ； 其图像如下：

　A选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故 A错； B 选项，因为函数的周期为 8 ，所以( 8) ( ) f x f x  ，因此( 4) ( 4) f x f x   ；故 B 正确； C 选项，由图像可得，该函数的值域为 0,2 2  ；故 C 正确； D选项，因为该函数是以 8 为周期的函数，因此函数   y f x  在区间   6,8 的图像与在区间   2,0  图像形状相同，因此，单调递增；故 D正确； 故选：BCD. 【点睛】

　试卷第 12 页，总 21 页 本题主要考查分段函数的应用，熟记函数的性质，灵活运用数形结合的思想求解即可，属于常考题型.

　 三、填空题 13 ．若  3 22 1xf xx，则1 2 3 1011 11 11 11f f f f                         

　【答案】15 【解析】

　试题分析：∵ f（x）= ，∴ f（x）+f（1﹣x）= + =3， ∴ f（ ）+f（ ）+f（ ）+…+f（）=5×3=15． 考点：函数的值 14 ． 已知函数22 , 1( )1, 1ax x xf xax x     在 R 上为单调増函数，则实数 a 的取值范围为________ ． 【答案】11,2     【解析】

　【分析】

　先要满足左右两段均为增函数，而且左侧的最高点不高于右侧的最低点，建立关于 a 的不等量关系，即可求解. 【详解】

　函数22 , 1( )1, 1ax x xf xax x     在 R 上为单调増函数， 需1102 1aaa a    ，解得112a     . 故答案为：11,2    . 【点睛】

　本题考查分段函数的单调性，要注意分界点处函数值的大小关系，容易遗漏，属于中档题. 15 ． 已知函数2 3( ) ( 1)mf x m m x   是幂函数，且该函数是偶函数，则 m 的值 是____

　【答案】1 【解析】

　【分析】

　由幂函数的定义可得21 1 m m    ，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定 m 的值. 【详解】

　∵函数2 3( ) ( 1)mf x m m x   是幂函数， ∴21 1 m m    ，解得 2 m 或 1 m  ， 又∵该函数是偶函数， 当 2 m 时，函数 ( ) f x x  是奇函数， 当 1 m  时，函数4( ) f x x  是偶函数， 即 m 的值是 1， 故答案为 1. 【点睛】

　本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查． 16 ． 已知函数   y f x  是定义在区间  3,3  上的偶函数，它在区间   0,3 上的图像是如图所示的一条线段，则不等式     f x f x x    的解集为__________. .

　【答案】123,7   【解析】

　【分析】

　由函数 f（x）过点（0，2），（3，0），223y x    ．作出函数 f（x）在[-3，3]上的图象，当 x∈[-3，0）的时候，y=2f（x）的图象恒在 y=x 的上方，当 x∈[0，3]时，令 2f（x）=x，得127x  ，由此能求出 f（x）+f（-x）＞x 的解集． 【详解】

　试卷第 14 页，总 21 页 由题意，函数   f x 过点   0,2 ，   3,0 ，∴223y x    ，又因为   f x 是偶函数，关于 y 轴对称，所以     f x f x   ，即   2f x x  ，又作出函数在   3,3  上的图像，当   3,0 x  的时候，  2 y f x  的图像恒在 yx 的上方，当   0,3 x 的时候，令   2f x x  ，127x  ，即当123,7x   的时候，满足   2f x x  ，即     f x f x x    . 故答案为123,7  . 【点睛】

　本题考查不等式的解集的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．

　四、解答题 17 ． 根据条件求下列各函数的解析式：

　（1 1 ）已知函数 f f ( ( x x ＋ 1) ＝3 3 x x ＋2 2 ，则 f f ( ( x x ) ) 的解析式； （2 2 ）已知   f x 是一次函数，且满足     3 1 2 1 2 17 f x f x x      ，求   f x 的解析式； （3 3 ）已知   f x 满足  12 + =3 f x f xx   ，求   f x 的解析式. . 【答案】(1)

　f ( x )＝3 x －1;(2) ( ) 2 7 f x x   ;(3) 1( ) 2 f x xx 

　( 0 x  ) 【解析】

　【分析】

　（1）利用换元法即可求出函数 f（x）的解析式； （2）设一次函数( ) f x ax b   (0 a  )，代入已知比较系数可得 a 和 b 的方程组，解方程组可得结果； （3）将 x 用1x替换，构造方程组即可得到   f x 的解析式. 【详解】

　（1）设 x＋1＝t，则 x＝t－1， ∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1， ∴f(x)＝3x－1. （2）因为( ) f x 是一次函数，可设 ( ) f x ax b   (0 a  )， 所以有 3[ ( 1) ] 2[ ( 1) ] 2 17 a x b a x b x        ，即 (5 ) 2 17 ax a b x     ，

　因此应有25 17aa b  ，解得27ab . 故( ) f x 的解析式是 ( ) 2 7 f x x   . （3）因为12 ( ) 3 f x f xx    ，① 将 x 用1x替换，得1 32 ( ) f f xx x    ，② 由①②解得1( ) 2 f x xx  ( 0 x  )， 即( ) f x 的解析式是1( ) 2 f x xx 

　( 0 x  ). 【点睛】

　本题考查了函数解析式的求法，应用了换元法与解方程组的方法，属于基础题． 18 ． 若函数21( )axf xbx c是奇函数( ( , , ) a b cN ) ) ，且 (1) 2 f  ，(2) 3 f . ( (1) ) 求实数 a , , b , , c 的值； ( (2) ) 判断函数( ) f x 在 ( , 1]   上的单调性，并利用函数单调性的定义证明. 【答案】(1) 1 a  , 1 b , 0 c= ；(2)( ) f x 在 ( , 1]  上为增函数,证明见解析. 【解析】

　【分析】

　（1）根据题意，由奇函数的性质可得 ( 1) 2 f    ，进而可得12124 132ab cab cab c      ，解可得 a 、 b 、 c 的值，即可得答案； （2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可． 【详解】

　解：(1)根据题意，函数21( )axf xbx c是奇函数（ , a b cN , ），且 (1) 2 f  ， 则 ( 1) 2 f    ，又由(2) 3 f ，

　试卷第 16 页，总 21 页 则有12124 132ab cab cab c      ，且 a b cN 、 、 ，解得 1 a  ， 1 b ， 0 c= . (2)由(1)可得：21 1( )xf x xx x   ，函数( ) f x 在 ( , 1]  上为增函数 证明：设任意的1 21 x x    ，      1 2 1 21 2 1 21 2 1 21 1 1 x x x xf x f x x xx x x x                ， 又由1 21 x x    ，则1 20 x x   且1 21 0 x x   ，1 20 x x  ， 则有    1 20 f x f x   ， 故函数( ) f x 在 ( , 1]  上为增函数 【点睛】

　本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出 a 、 b 、 c 的值，属于基础题． 19 ． 定义在 ( 1,1) 上的函数 ( ) f x 满足：

　① 对任意 , ( 1,1) x y  都有 ( ) ( )1x yf x f y fxy     ； ②当 0 x  ， ( ) 0 f x  . . （1 1 ）判断函数( ) f x 的奇偶性，并说明理由； （2 2 ）判断函数( ) f x 在 (0,1) 上的单调性，并说明理由； （3 3 ）若1 1( )5 2f  ，试求1 1 1( ) ( ) ( )2 11 19f f f   的值. . 】

　【答案】（1）奇函数（2）( ) f x 在 (0,1) 上单调递减.（3）1 【解析】

　试题分析：（1）令 0 x y   可得   0 0 f  ，再令 yx 得     f x f x   ，可得结论；（2）根据证明函数单调性的步骤解题即可，解题中要注意所给函数性质的运用；（3）根据   1x yf x f y fxy     将1 1 12 11 19f f f                化为一个值的形式，再由1 15 2f   求值。

　试题解析：（1）函数   f x 为奇函数。理由如下：

　令 0 x y   ，则       0 0 0 f f f   ，得   0 0 f  ，

　令 yx ，则       0 0 f x f x f     ， 所以     f x f x   ， 所以函数   f x 是   1,1  上的奇函数。

　（2）设1 20 1 x x    ，        1 21 2 1 21 21x xf x f x f x f x fx x         因为1 20 x x   ，1 20 1 x x   ，1 21 0 x x   ， 所以1 21 201x xx x，1 21 201x xfx x    ， 所以    1 20 f x f x   ， 所以    1 2f x f x 

　因此   f x 在   0,1 上单调递减. （3）1 1 1 1 1 1 3 1 52 11 19 2 11 19 7 19 13f f f f f f f f f                                                              因为1 1 515 5 13f f f                  ， 所以1 1 112 11 19f f f                 。

　点睛：抽象函数是函数中的一个重要成员，其特点是不知函数的解析式，因此对解题带来了困难。解决抽象函数问题时要注意以下几点：

　①读懂题意，明确所给抽象函数所具有的特征及定义域、特殊值； ②用赋值法解题，有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决； ③熟练应用条件中所给的函数的性质，学会正用性质、逆用性质解题。

　20 ． 已知定义在  2,2 x  上的偶函数   f x 满足：当   0,2 x 时，   2 3 f x x x    . （ （1 ）求函数   f x 在   2,2 x  上的解析式； （ （2 ）设   2 g x ax a    ，   0 a  ，若对于任意  1 2, 2,2 x x   ，都有    1 2g x f x  成立，求实数 a 的取值范围.

　试卷第 18 页，总 21 页 】

　【答案】（1）

　   2 3 , 2,02 3 , 0,2x x xf xx x x       ；（2）

　0 2 a   . 【解析 】

　【分析】

　（1）根据偶函数的定义求解； （2）用换元法求出( ) f x 的最小值，再求出 ( ) g x 的最大值，然后由   max ming x f x  可得 a 的范围． 【详解】

　（1）设   2,0 x  ，则   0,2 x   ，因为   f x 定义   2,2 x  在偶函数， 所以   2 3 f x x x     ，因为     f x f x   ，所以   2 3 f x x x   

　所以    2 3 , 2,02 3 , 0,2x x xf xx x x       . （2）因为对任意  1 2, 2,2 x x   ，都有    1 2g x f x  成立， 所以    max ming x f x  .又因为   f x 是定义在   22  , 上的偶函数， 所以   f x 在区间   2,0  和区间   0,2 上的值域相同. 当   2,0 x  时,   2 3 f x x x    单调递增，   min ( 2) 0 f x f     ，又    max2 2 g x g a    . 所以 2 0 a  ，所以 2 a  ， 故 a 的取值范围为 0 2 a   . 【点睛】

　本题考查函数的奇偶性，考查不等式恒成立问题，不等式恒成立问题常常转化为求函数的最值，但要注意要根据不等号的方向，存在量词与全称量词等确定是求最大值还是求最小值，否则易出错． 21 ．有 某影院共有 1000 个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票过价不超过 10 元时，于 票可全部售出，当每张票价高于 10 元时，每提高 1 元，将有 30 张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院一个合适的票价，符合的基本条件是：

　①为 为了方便找零和算账，票价定为 1 元的整数倍； ②为 影院放映一场电影的成本费为 5750 元，票房收入必须高于成本支出. （ （1 ）设定价为 x （*xN ）元，净收入为 y 元，求 y 关于 x 的表达式； （ （2 ）每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？此时放映一场的净收入为多少元？

　】

　【答案】（1）21000 5750 [6,10]30 1300 5750 [11,38]x xyx x x        NN；（2）每张票价定为 22 元时净收入最多，最大值为 8330 元. 【解析】

　【分析】

　（1）根据 x 的范围，分别求出函数表达式；（2）分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案． 【详解】

　（1）电影院共有 1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为 5750 元，票房的收入 必须高于成本支出， 5.75 x   ，  票价最低为 6元， 票价不超过 10 元时：

　1000 5750 y x  ， (610 x 剟的整数）， 票价高于 10元时：

　[1000 30( 10)] 5750 y x x    

　230 1300 5750 x x    ， 21000 30( 10) 030 1300 5750 0xx x      ， 解得：15 383x   ， 230 1300 5750 y x x      ， (10 38 x  „ 的整数）； 所以21000 5750 [6,10]30 1300 5750 [11,38]x xyx x x        NN （2）对于1000 5750 y x  ， (610 x 剟的整数）， 10 x 时：

　y 最大为 4250 元， 对于230 1300 5750 y x x     ， (10 38 x  „ 的整数）； 当 21.62bxa   时， y 最大，  票价定为 22元时：净收人最多为 8830 元． 【点睛】

　本题考查了一次函数、二次函数的性质及应用，根据 x 的范围得到函数的解析式是解题的关键． 22 ． 已知函 数 (0)ty x xx   有如下性质：如果常数 0 t  ，那么该函数在 (0, ] t 上是减函数，在[ , ) t  是增函数，其图像如图所示．

　试卷第 20 页，总 21 页

　(1) 已知28 4( )x xf xx  ，[1,3] x ，利用上述性质，求函数 ( ) f x 的单调区间和值域； (2) 对于(1) 中的函数( ) f x 和函数 ( ) 2 g x x a    ，若对任意1[1,3] x  ，总存在2[0,1] x  ，使得2 1( ) ( ) g x f x  成立，求实数 a 的值． 】

　【答案】（1）( ) f x 的单调递减区间为 [1,2] ，单调递增区间为 [2,3] ，值域为  4, 3   ；（2）32 【解析】

　【分析】

　（1）28 4 4( ) 8x xf x xx x     ，结合条件所给的函数的单调性即可求解； （2）对任意1[1,3] x  ，总存在2[0,1] x  ，使得2 1( ) ( ) g x f x  成立，等价于 ( ) f x 的值域是 ( ) g x 值域的子集，求出( ) f x 和 ( ) g x 的值域，根据包含关系即可求出实数 a 的值 【详解】

　解：（1）28 4 4( ) 8x xf x xx x     ，

　根据条件所给出的性质得，( ) f x 的单调递减区间为 [1,2] ，单调递增区间为 [2,3] ， ( ) f x 的最小值为 (2) 2 2 8 4 f      ， ( ) f x 的最大值为 (1) 1 4 8 3 f     ， 所以( ) f x 的值域为  4, 3   ； （2）由已知对于函数 ( ) 2 g x x a    ， [0,1] x ， 得 ( ) 2 [ 1 2 , 2 ] g x x a a a       , 对于函数28 4( )x xf xx  ，[1,3] x ，

　得 28 4( ) 4, 3x xf xx    

　由已知对任意1[1,3] x  ，总存在2[0,1] x  ，使得2 1( ) ( ) g x f x  成立，等价于 ( ) f x 的值域是 ( ) g x 值域的子集， 1 2 42 3aa       ，解得3 32 2a   ，即32a 

　【点睛】

　本题主要考查了函数恒成立问题的求解，以及转化思想的应用，对勾函数的最值以及单调性的应用．