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    课后限时集训22,两角和与差正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

    时间：2020-11-10 02:01:18 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：公式 正切 余弦

    　1

    　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 建议用时：45 分钟

    　一、选择题 1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(

    　) A．1

    　B. 12

    　 C.32

    　D．－ 12

    　B [sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝ 12 .] 2．若 2sin x＋cos  π2 －x ＝1，则 cos 2x＝(

    　) A．－ 89

    　B．－ 79

    　C. 79

    　D．－725

    　C [因为 2sin x＋cos  π2 －x ＝1，所以 3sin x＝1，所以 sin x＝13 ，所以 cos 2x＝1－2sin 2 x＝ 79 .] 3．(2019·太原模拟)若 cos  α－ π6＝－33，则 cos  α－ π3＋cos α＝(

    　) A．－ 2 23

    　 B．±2 23 C．－1

    　 D．±1 C [cos  α－ π3＋cos α＝ 12 cos α＋32sin α＋cos α ＝ 32 cos α＋32sin α＝ 3cos  α－ π6＝－1.]

    　2 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝(

    　) A. 3

    　 B. 2

    　C.22

    　D.33 D [∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33.] 5．若 α∈  π2 ，π ，且 3cos 2α＝sin π4 －α ，则 sin 2α 的值为(

    　) A．－118

    　B.118

    　C．－ 1718

    　D. 1718

    　C [由 3cos 2α＝sin  π4 －α ，可得 3(cos2 α－sin 2 α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈  π2 ，π ，可知 cos α－sin α≠0，于是 3(cos α＋sin α)＝22，所以 1＋2sin αcos α＝118 ，故 sin 2α＝－1718 .] 二、填空题 6．已知 sin  π2 ＋α ＝12 ，α∈ － π2 ，0 ，则 cos α－ π3的值为

    　． － 12

    　[由已知得 cos α＝12 ，sin α＝－32， 所以 cos  α－ π3＝ 12 cos α＋32sin α＝－ 12 .] 7．(2019·湘东五校联考)已知 sin(α＋β)＝ 12 ，sin(α－β)＝13 ，则tan αtan β ＝

    　. 5 [因为 sin(α＋β)＝ 12 ，sin(α－β)＝13 ，所以 sin αcos β＋cos αsin β＝12 ，sin αcos β－cos αsin β＝ 13 ，所以 sin αcos β＝512 ，cos αsin β＝112 ，所以tan αtan β ＝sin αcos βcos αsin β ＝5.] 8．化简：sin 2 35°－ 12cos 10°cos 80°＝

    　.

    　3 －1 [sin 2 35°－ 12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－ 12cos 10°sin 10°＝－ 12 cos 70°12 sin 20°＝－1.] 三、解答题 9．已知 tan α＝2. (1)求 tan  α＋ π4的值； (2)求sin 2αsin 2 α＋sin αcos α－cos 2α－1 的值． [解] (1)tan  α＋ π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝ 2＋11－2 ＝－3. (2)sin 2αsin 2 α＋sin αcos α－cos 2α－1

    　＝2sin αcos αsin 2 α＋sin αcos α－2cos 2 α－1－1

    　＝2sin αcos αsin 2 α＋sin αcos α－2cos 2 α

    　＝2tan αtan 2 α＋tan α－2 ＝2×22 2 ＋2－2 ＝1. 10．已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝ 35 ，tan(α－β)＝－13 . (1)求 sin(α－β)的值； (2)求 cos β 的值． [解] (1)∵α，β∈  0， π2，∴－ π2 ＜α－β＜π2 . 又∵tan(α－β)＝－ 13 ＜0， ∴－ π2 ＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝ 3 1010.

    　4 ∵α 为锐角，且 sin α＝ 35 ，∴cos α＝45 . ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝ 45 ×3 1010＋ 35 × －1010＝ 9 1050.

    　1．若 sin  A＋ π4＝ 7 210，A∈  π4 ，π ，则 sin A 的值为(

    　) A. 35

    　 B.45

    　C.35 或45

    　D.34

    　B [∵A∈  π4 ，π ，∴A＋π4 ∈ π2 ，5π4， ∴cos  A＋ π4＝－ 1－sin 2  A＋ π4＝－210 ， ∴sin A＝sin  A＋ π4－ π4

    　＝sin  A＋ π4cos π4 －cos A＋ π4sin π4 ＝45 .] 2．已知 sin α＝－ 45 ，α∈3π2，2π，若 sinα＋βcos β＝2，则 tan(α＋β)＝(

    　) A.613

    　 B.136

    　C．－613

    　D．－ 136 A [∵sin α＝－ 45 ，α∈3π2，2π， ∴cos α＝ 35 . 又∵ sinα＋βcos β＝2， ∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]． 展开并整理，得 65 cos(α＋β)＝135sin(α＋β)， ∴tan(α＋β)＝613 .] 3．已知 cos  π4 ＋θ cos π4 －θ ＝14 ，则 cos 2θ＝

    　，sin4 θ＋cos 4 θ

    　5 ＝

    　. 12

    　58

    　[因为 cos π4 ＋θ cos π4 －θ ＝   22cos θ－22sin θ 22cos θ＋22sin θ ＝ 12 () cos 2 θ－sin 2θ ＝12 cos 2θ＝14 . 所以 cos 2θ＝ 12 . 故 sin 4 θ＋cos 4 θ＝   1－cos 2θ22 ＋ 1＋cos 2θ22 ＝116 ＋916 ＝58 .] 4．(2019·石家庄质检)已知函数 f(x)＝sin  x＋π12，x∈R. (1)求 f  － π4的值； (2)若 cos θ＝ 45 ，θ∈ 0， π2，求 f  2θ－ π3的值． [解] (1)f  － π4＝sin  － π4 ＋π12＝sin  － π6 ＝－ 12 . (2)f  2θ－ π3＝sin  2θ－ π3 ＋π12＝sin  2θ－ π4 ＝22( ) sin 2θ－cos 2θ . 因为 cos θ＝ 45 ，θ∈ 0， π2，所以 sin θ＝ 35 ， 所以 sin 2θ＝2sin θcos θ＝ 2425 ，cos 2θ＝cos2 θ－sin 2 θ＝ 725 ， 所以 f  2θ－ π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×  2425 －725＝ 17 250.

    　1．(2019·江苏高考改编)已知tan αtan  α＋ π4＝－ 23 ，则 tan α＝

    　，sin 2α＋ π4

    　6 ＝

    　. － 13 或 2 210

    　[∵tan αtan  α＋ π4＝－ 23 ， ∴tan α＝－ 23 tan α＋ π4＝－ 23 ·1＋tan α1－tan α ， 整理得 3tan 2 α－5tan α－2＝0， ∴tan α＝－ 13 或 tan α＝2. sin  2α＋ π4＝22(sin 2α＋cos 2α) ＝22·2sin αcos α＋cos 2 α－sin 2 αcos 2 α＋sin 2 α ＝22·2tan α＋1－tan 2 α1＋tan 2 α. 当 tan α＝－ 13 时，sin 2α＋ π4＝210 ； 当 tan α＝2 时，sin  2α＋ π4＝210 . 所以答案为210 .] 2．已知函数 f(x)＝(2cos 2 x－1)·sin 2x＋ 12 cos 4x. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)若 α∈(0，π)，且 f  α4 －π8＝22，求 tan  α＋ π3的值． [解] (1)f(x)＝(2cos 2 x－1)sin 2x＋ 12 cos 4x ＝cos 2xsin 2x＋ 12 cos 4x ＝ 12 (sin 4x＋cos 4x)＝22sin  4x＋ π4， ∴f(x)的最小正周期 T＝ π2 . 令 2kπ＋ π2 ≤4x＋π4 ≤2kπ＋3π2，k∈Z，

    　7 得 kπ2＋π16 ≤x≤kπ2＋ 5π16 ，k∈Z. ∴f(x)的单调递减区间为 ，k∈Z. (2)∵f  α4 －π8＝22，∴sin  α－ π4＝1. ∵α∈(0，π)，－ π4 ＜α－π4 ＜3π4， ∴α－ π4 ＝π2 ，故 α＝3π4. 因此 tan  α＋ π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝ －1＋ 31＋ 3＝2－ 3.

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