第七章有限脉冲响应数字滤波器设计

时间：2020-10-16 05:05:05 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　第七章

　有限脉冲响应数字滤波器的设计

　 IIR 数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进行设计的，因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中只考虑了幅度特性，没有考虑相位特性，所设计的 滤波器相位特性一般是非线性的 。

　 在 IIR 滤波器设计时，如果要得到线性相位特性，必须另外增加相位校正网络，使滤波器设计变得复杂，成本升高。

　 FIR 滤波器在保证幅度特性满足要求的同时，很 容易做到有严格的线性相位特性 。设 FIR 滤波器单位脉冲响应   h n 长度为 N，其系统函数   H z为

　   10NnnH z h n z 

　  H z 是1z  的（N-1）次多项时，它在 z 平面上有（N-1）个零点，原点 z=0 是（N-1）阶重极点。因此，   H z 永远稳定 。稳定和线性相位特性是 FIR 滤波器突出的优点。

　FIR 滤波器的设计方法和 IIR 滤波器的设计方法有很大不同。FIR 滤波器设计任务是选择有限长度的   h n ,使传输函数 jH e满足技术要求。

　7.1 线性相位 R FIR 数字滤波器的条件和特点

　1 1 、线性相位条件

　对于长度为 N 的   h n ，传输函数为

　   10Nj j nnH e h n e  

　(1.1)

　      j jgH e H e   

　(1.2) 式中，  gH  称为幅度特性，     称为相位特性。

　 jH e线性相位是指     是  的线性函数，即

　  ,      为常数 (1.3) 如果     满足

　 0 0,        是起始相位 (1.4) 严格地说，此时     不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即

　  dd  

　也称这种情况为线性相位。一般称满足(1.3)式是 第一类线性相位 ；满足(1.4)式为 第二类线性相位 。

　2 2 、 线性相位 R FIR 的时域约束条件

　（1）

　第一类线性相位对   h n 的约束条件 第一类线性相位 FIR 数字滤波器的相位函数

　     

　由式(1.1)和(1.2)可得

　     10Nj j n jgnH e h n e H e    

　     10cos sin cos sinNgnh n n j n H        (1.5) 可得

　      1010cos cossin sinNgnNgnH h n nH h n n     (1.6)

　将两式相除，可得

　  1010coscossinsinNnNnh n nh n n 即

　   1 10 0cos sin sin cosN Nn nh n n h n n        由三角公式可得

　   10sin 0Nnh n n        (1.7) 如果取   h n 是实序列且对12N 偶对称，即

　    1 h n h N n   

　(1.8) 此时 FIR 数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数，即

　 12N   

　 （2）

　第二类线性相位对   h n 的约束条件 第二类线性相位 FIR 数字滤波器的相位函数为

　 2     

　同理可得

　         1 120 0cos 0N Njj j ngn nH e h n e H e h n n                   (1.9) 如果取   h n 是实序列且对12N 偶对称，即

　    1 0 1 h n h N n n N      

　(1.10)

　3 3 、线性相位 R FIR 滤波器幅度特性  gH  的特点

　将时域约束条件

　     1 h n h N n   

　代入(1.1)式，即

　   10Nj j nnH e h n e  

　并设   h n 为实序列，即可推导出线性相位条件对 FIR 数字滤波器的幅度特性 gH  的约束条件。

　当 N 取奇数和偶数对  gH  的约束不同，因此分以下四种情况讨论：

　CASE 1 ：

　    1 h n h N n    ， N= 奇数

　将时域约束条件     1 h n h N n    和       代入(1.1)和(1.2)式，可得：

　                  10111212011121201120112122 cosNj j j ngnNNjj N n j nnNNjj N n j nnNjnH e H e h n eNh e h n e h N n eNh e h n e h n ee h h n n                                                        

　其中

　12N

　所以

　       11202 cosNgnH h h n n                (1.11) 结论：

　 gH  关于 0, ,2     三点对称，因此，该情况可以实现各种滤波器，即低通、高通、带通和带阻。

　CASE 2 ：

　    1 h n h N n    ， N= 偶数 推导情况和前面相似，但由于 N=偶数，  gH  中没有单独项，相等的项合并成2N项。

　         10 02 cosN Mj j j n jgn nH e H e h n e e h n n                

　     02 cosMgnH h n n         (1.12) 其中

　12NM     又因为

　1 12 2 2N N  

　且 N 是偶数，所以当    时

　  cos cos sin 02 2 2N Nn n n                                    结论：

　  0gH   ，  gH  关于    奇对称，关于 0,2    偶对称。因此，CASE 2不能实现高通和带阻滤波器。

　CASE 3:     1 h n h N n    ，N=奇数 将时域约束条件     1 h n h N n     和  2      代入(1.1)和(1.2)，并考虑102Nh    ，可得

　        101202 sinNj j j ngnMjnH e H e h n ee h n n              

　     102 sinMgnH h n n         其中，  和 M 同上。

　结论：

　因为 N 为奇数，  时整数，所以，当 0, ,2     时正弦项为零，且关于过零点奇对称。因此，  gH  关于 0, ,2     三点奇对称。只适合实现带通滤波器。

　CASE 4：

　    1 h n h N n    ，N=偶数 与 CASE 3 类似

　     02 sinMgnH h n n         (1.13) 结论：

　N 是偶数，1 12 2 2N N   。所以，当 0,2    时正弦项为零，当    时，   2sin 1n Nn       ，为峰点。因此  gH  关于 0,2    奇对称，关于   偶对称。

　CASE 4 不能实现低通和带阻滤波器。

　表 7.1.1 线性相位 FIR 滤波器的幅度特性与相位特性一览表

　4 4 、线性相位 R FIR 滤波器零点分布特点

　因为对于 FIR 数字滤波器，有

　   10NnnH z h n z 

　要保持线性相位，必有     1 h n h N n    ，所以有

　   1 1 NH z z H z   

　(1.14) 由(1.14)可见：

　 如iz z  是   H z 的零点，其倒数1iz  也必然是其零点。

　 又因为   h n 是实序列，   H z 的零点必是共轭成对，因此*iz 和 *1iz  也是其零点。

　因此， 线性相位 FIR 滤波器零点分布特点是零点必须是互为倒数的共轭对，确定其中一个，另外三个零点也就确定。

　但在以下三种情况例外：

　 零点是实数；  零点是纯虚数且在单位圆上；  零点在单位圆上且是实数。

　图 7.1.1 线性相位 FIR 滤波器零点分布

　7.2 利用窗函数法设计 FIR 滤波器 1 1、 、 窗函数法设计 原理

　设希望设计的滤波器传输函数为 jdH e，  dh n 是与其对应的单位脉冲响应，因此

　   j j nd dnH e h n e  

　   12j jd dh n H e e d  如果能够由已知的 jdH e求出  dh n ，经过 Z 变换可得到滤波器的系统函数。

　但一般情况下，通常以理想滤波器作为 jdH e，其幅度特性逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而  dh n 是无限时宽的，且是非因果序列。

　例如：理想低通滤波器的传输函数 jdH e为

　 ,0,jj cdceH e       (2.1) 相应的单位取样响应  dh n 为

　     sin12cccj j ndnh n e e dn      (2.2) 可以看出，理想低通滤波器的单位取样响应  dh n 是无限长，且是非因果序列。

　 图 7.2.1 理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗

　为了构造一个长度为 N 的线性相位滤波器，只有将  dh n 截取一段，并保证截取的一段对12N 对称。设截取的一段用   h n 表示，即

　     d Nh n h n R n 

　(2.3) 当12N 时，   h n 对12N 对称，保证所设计的滤波器具有线性相位。

　—— 这就是窗函数设计 R FIR 数字滤 波器的基本思想。

　存在的问题：

　用一个有限长的序列   h n 去代替  dh n ，肯定会产生误差，表现在频域上就是通常所说的吉布斯效应。该效应会引起通带内和阻带内的波动性，尤其使阻带衰减减小，从而满足不了技术上的要求。这种吉布斯效应是由于将  dh n 直接截断引起的，因此，也称为 截断效应。

　 2 2、 、 减小 截断效应 及其影响

　截断效应是因为要用有限项Fourier级数代替无限项Fourier级数而产生的，显然，随着选取的 Fourier 级数项数增多，引起的误差就会减小，但项数增多，即   h n 长度增加，会使成本增加。在实际设计中，应在满足技术要求的条件下，尽量减少   h n 的长度。

　对(2.3)式，即

　     d Nh n h n R n 

　进行 Fourier 变换，并根据复卷积定理，有

　     12j j jd NH e H e R e d    (2.4) 式中， jdH e和 jNR e分别是  dh n 和  NR n 的 Fourier 变换，即

　     11120sin2sin2Nj Nj j n jN N NnNR e R n e e R e             (2.5) 式中

　 sin1 2,2sin2NNNR          NR  称为 矩形窗的幅度函数 。

　将 jdH e写成

　   j jd dH e H e 

　已知理想低通滤波器的幅度特性  dH  为

　 1,0,cdcH       

　将 jdH e和 jNR e代入(2.4)式，可得

　         1212j d j jd Njd NH e H e R e de H R d                将 jH e写成下式

　   j jH e H e 

　则

　     12d NH H R d      (2.6) 式中  gH  是  jH e的幅度特性。

　该式说明 滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性  dH  与矩形 窗幅度特性  NR  的卷积 。

　【因为时域截断在数学上相当于与 矩形窗相乘】

　  dH  与  NR  卷积形成   H  波形的过程见图 7.2.2。

　 图 7.2.2 矩形窗对理想低通幅度特性的影响

　分析上图可知，对  dh n 加矩形窗处理后，   H  和原理想低通  dH  差别有

　以下两点：

　 在理想特性不连续点c   附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于 NR  主瓣宽度，即4N。

　 通带内产生了波动，最大峰值在2cN  处。阻带内产生了余振，最大负峰值在2cN  。通带与阻带中波动情况与窗函数的幅度谱有关。

　 NR 波动越快，通带、阻带内波动越快，  NR  旁瓣的大小直接影响   H  波动的大小。

　 吉布斯效应直接影响滤波器的性能。在通带内的波动影响滤波器通带中的平稳性，阻带内的波动影响阻带内的衰减，可能使最小衰减不满足技术要求。

　3 3 、 减小截断效应的方法

　（1）增加矩形窗口的宽度，即加大 N 直观上，增加矩形窗口的宽度，即加大 N，可以减小截断效应的影响。以主瓣附近的情况为例分析 N 加大后，  NR  的变化。按照(2.5)式，  NR  可近似为

　 sinsin 22NNxR Nx    

　该函数的性质是随 x 加大（N 加大）,主瓣幅度增高，同时旁瓣也增高，保持主瓣和旁瓣幅度相对值不变。另一方面，波动频率加快，当   x N   时，sin xx趋近于  函数，因此，加大 N，对   H  波动幅度的改善并没有太大的效果。带内最大肩峰比   0 H 高 8.95%，阻带最大负峰比零值超过 8.95%，使阻带最小衰减只有 21dB。N 加大带来的最大好处是   H  过渡带变窄。因此， 加大 N N 并不是减小吉布斯效应的有效方法。

　（2）设计合适的窗函数

　如果能找到一个合适的窗函数，使其谱函数的主瓣包括更多的能量，相应旁瓣幅度就减小。旁瓣幅度的减小可使通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减。这又会导致过渡带加宽。

　2 2 、 常用窗函数

　设      dh n h n w n  ，式中   w n 表示窗函数。下面均以低通滤波器为例。

　 矩形窗（Rectangle Windows）

　   Nw n R n 

　频率响应为

　  112sin2sin2j NjRNW e e        (2.7)  jRW e的主瓣宽度为4N，第一副瓣比主瓣低 13dB。

　 三角形窗(Bartlett Window)

　   2 1, 0 11 22 12 , 1 11 2Brnn NNw nnN n NN          (2.8) 其频率响应为

　 212sin2 4sin2NjjBNW e eN                       (2.9) 其幅度函数为

　 sin2 4sin2BgNWN                 (2.10) 其主瓣宽度为8N，第一副瓣比主瓣低 26dB。

　  汉宁(Hanning)窗—升余弦窗

　   20.5 1 cos1Hn Nnw n R nN            (2.11)

　     12NjjR N RW e FT R n W e    

　      12122 20.5 0.251 1NjjHn Hn R R RNjHnW e FT W n W W W eN NW e                               当 1 N 时， 1 N N   ，

　   2 20.5 0.25Hn R R RW W W WN N                        汉宁窗的幅度函数  HnW  由三部分相加，使能量更集中在主瓣中，但主瓣宽度加宽到8N。

　 图 7.2.3 汉宁窗的幅度特性

　  哈明(Hamming)窗—改进的升余弦窗

　   20.54 0.46cos1Hm Nnw n R nN            (2.12) 其频域函数 jHmW e为

　   2 21 10.54 0.23 0.23j jj j N NHm R R RW e W e W e W e                              当 1 N 时，可近似表示为    2 20.54 0.23 0.23jHm R R RW e W W WN N                 这种改进的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主办的能量约占 99.96%，第一旁瓣的峰值比主瓣校 40dB，但主瓣宽度和汉宁窗相同，仍为8N。

　 布莱克曼窗(Blackman)

　   2 40.42 0.5cos 0.08cos1 1Bl Nn nw n R nN N        

　(2.13) 其频域函数为

　   2 21 14 41 10.42 0.250.04j jj j N NBl R R Rj jN NR RW e W e W e W eW e W e                                                                       其幅度函数为

　   2 20.42 0.251 14 40.041 1Bl R R RR RW W W WN NW WN N                                              (2.14) 这样其幅度由五部分组成，它们都是移位不同，且幅度也不同的  RW  函数，使旁瓣在进一步抵消。阻带衰减进一步增加，过渡带是矩形窗过渡带的 3 倍。

　 图 7.2.4

　常用的窗函数

　 图 7.2.5

　 常用窗函数的幅度特性

　(a)矩形窗；(b)三角形窗；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗

　 图 7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ω c =0.5π)

　(a)矩形窗；(b)三角形窗；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗

　 凯塞-贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window)

　   00, 0 1kIw n n NI   

　(2.15) 式中

　221 11nN        0I x 是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：

　 20111! 2kkxI xk          一般  0I x 取 15-25 项便可以满足精度要求。

　 参数可以控制窗的形状。一般  加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为 4<  <9。当=5.44 时，窗函数接近哈明窗。

　7.865   时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗的幅度函数为

　     1210 2 cosNk k knW w w n n    (2.16)

　表 7.2.1 凯塞窗参数对滤波器的性能影响

　 表 7.2.2

　六种窗函数的基本参数

　 3 3 、 用窗函数设计 R FIR 滤波器的步骤

　Step 1: 根据对过渡带及阻带衰减的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度 N。

　 先按照阻带衰减选择窗函数类型。原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。

　 根据过渡带宽度估计窗口长度 N。待求滤波器的过渡带宽度tB 近似等于窗函数主瓣宽度，且近似与窗口长度 N 成反比，tANB ，A 取决于窗口类型。

　Step 2: 构造希望逼近的频率响应函数 jdH e，即

　   12Njjd dgH e H e

　选择 jdH e为线性相位理想滤波器，包括理想低通、理想高通、理想带通和理想带阻。

　以低通滤波器为例，  dgH  应满足

　 10cdgcH        (2.17)

　Step 3 ：

　计算  dh n 。如果给出待求滤波器的频响函数为  jdH e，那么单位脉冲响应用下式求出：

　  12j j nd dh n H e e d  (2.18) 若 jdH e较复杂，  dh n 不能解析求得，可对  jdH e从 0   到 2    采样 M点，采样值为

　 2, 0,1,2, , 1j kMdM dH k H e k M      然后进行 M 点的 IDFT，可得

　   dM dMMh n IDFT H k     (2.19) 取主值区间即可得  dh n 。

　对于(2.17)所示理想低通滤波器，由(2.19)式可得

　   sincdnh nn      为保证线性相位，12N 。

　Step 4: 加窗得到设计结果：

　     dh n h n w n 

　代入

　   10Nj j nnH e h n e  

　即可。

　4、例题 用窗函数法设计线性相位高通 FIR 数字滤波器。

　5 5 、窗函数法的 B MATLAB 设计函数简介

　7.3 利用频率采样法设计 R FIR 滤波器

　1 1、 、 频率采样法设计 R FIR 滤波器的思想

　Method 1: 设待设计的滤波器的传输函数用 jdH e表示，对它在 0   到2  之间等间隔采样 N 点，得到  dH k ，

　  2, 0,1,2, , 1jd dkNH k H e k N   

　(3.1) 再对 N 点  dH k 进行 IDFT，得到   h n ，

　   2101, 0,1,2, , 1Nj knNdkh n H k e n NN   (3.2) 式中，   h n 作为所设计的滤波器的单位取样响应，其系统函数为   H z 为

　   10NnnH z h n z 

　(3.3)

　 Method 2:

　也可以直接进行频率域采样值  dH k ，然后利用插值公式

　  120 111N Ndj kkNH k zH zNe z  (3.4) 形成滤波器的系统函数。

　(3.3)式和(3.4)式都属于用频率采样法设计的滤波器，它们分别对应着不同的网络结构， ( (3 3. .3 3) ) 式适合 FIR 直接型网络结构 ， ( (3 3. .4 4) ) 式适合频率采样结构 。

　2 2 、设计线性相位滤波器 时对  dH k 的 约束 条件

　FIR 滤 波 器 具 有 线 性 相 位 的 条 件 是   h n 是 实 序 列 ， 且 满 足    1 h n h N n    ，在此基础上我们已推导出其传输函数应满足的条件是；

　     j jd gH e H e   

　  12N   

　(3.5)

　    2 ,g gH H N      奇数

　(3.6)     2 ,g gH H N      偶数

　 (3.7) 在 0~ 2    之间等间隔采样 N 点，

　2, 0,1,2, , 1kk k NN   

　将k   代入(3.4)-(3.7)式中，并写成 k 的函数：

　     j kd gH k H k e

　(3.8)

　 12 12N Nk k kN N     

　(3.9)

　    Ng gH k H N k    ， 奇数

　(3.10)     Ng gH k H N k    ， 偶数

　(3.11) ( (3 3. .8 8) ) 式 —( (3 3. . 11) ) 式就是频率采样值满足线性相位的条件。

　由(3.10)式知，N 等于奇数时，  gH k 关于 2 N 点偶对称。由(3.11)式知，N等于偶数时，  gH k 关于 2 N 点奇对称，且   2 0gH N  。

　设用理想低通滤波器作为希望设计的滤波器，截止频率为c ，采样点数 N， gH k 和   k  用下面公式计算：

　N=奇数时，      1, 0,1,2, ,0, 1, 1, , 11, 0,1,2, , 1g g cg c c cH k H N k k kH k k k k N kNk k k NN              

　(3.12)

　N=偶数时，     1, 0,1,2, ,0, 1, 1, , 11, 0,1,2, ,1, 0,1,2, , 1g cg c c cg cH k k kH k k k k N kH N k k kNk k k NN               

　 (3.13) 上面公式中的ck 是小于等于2c N的最大整数。另外，对于高通和带阻滤波器，这里 N 只能取奇数。

　3 3 、逼近误差及其改进措施

　（1 1 ）从时域看误差来源

　如果待设计的滤波器为 jdH e，对应的单位取样响应为  dh n ，

　  12j j nd dh n H e e d  则由频率域采样定理知道，在频域 0~ 2  之间等间隔采样 N 点，利用 IDFT 得到的   h n 应是  dh n 以 N 为周期的周期性延拓的主值序列，即

　     d Nrh n h n rN R n  如果 jdH e有间断点，那么相应单位脉冲响应  dh n 应是无限长的。这样，由于时域混叠及截断，使   h n 与  dh n 有偏差。为此，希望在频域的采样点数 N 加大。N 越大，设计出的滤波器越逼近待设计的滤波器 jdH e。

　（2 2 ）从频域看误差来源

　由采样定理表明，频率域等间隔采样   H k ，经过 IDFT 得到   h n ，可得

　     102NjkH e FT h n H k kN           式中

　  12sin1 2sin2NjNeN        表明：

　 在采样点2, 0,1,2, , 1kk NN    ，21kN     ，因此，采样点处 jH e与   H k 相等，逼近误差为 0。在采样点之间，  2kjkkH eN   与  H k 相等，逼近误差为 0。

　 在采样点之间， jH e由 N 项的   H k2 kN    之和形成。其误差和 jdH e特性的平滑程度有关，特性越平滑的区域，误差越小。特性曲线间断点处，误差最大。表现形式为间断点变成用倾斜下降的过渡带曲线，过渡带宽度近似为 2 N  。通带和阻带内产生振荡波纹，且间断点附近振荡幅度最大，使阻带衰减减小，往往不能满足技术要求。

　 增加 N，可以使过渡带变窄，但通带最大衰减和阻带最小衰减随 N 的增大并无明显改善，且 N 太大，会增加滤波器体积与成本。

　存在的问题：

　直接对理想滤波器的频率响应采样的“基本频率采样设计法不能满足一般工程对阻带衰减的要求。

　解决的方法：

　提高阻带衰减最有效的方法是在频响间断点附近区间内插入一个或几个过渡采样点，是不连续点变成缓慢过渡。这样虽然加大了过渡带，但明显增大了阻带衰减。

　 图 7.3.1 理想低通滤波器增加过渡点 过渡带采样值的详细求解要用到优化算法。

　 4 4 、频率采样法设计步骤

　Step 1 ：根据阻带最小衰减s 选择过渡带采样点的个数 m。

　m 1 2 3 s

　44-54dB 65-75dB 85-95db Step 2 ：确定过渡带宽度tB ，估算频域采样点数 N。

　若增加 m 个过渡带采样点，则过渡带宽度近似变成为   1 2 m N   。当 N 确定时，m 越大，过渡带越宽。如果给定过渡带宽度tB ，则要求   1 2tm N B    ，滤波器长度 N 必须满足

　 21tN mB 

　(3.14) Step 3 ：构造一个希望逼近的频率响应函数

　     1 2 j N jd dgH e H e  

　Step 4：

　：按照(3.1)式进行频率采样：

　    120,1, , 1Nj kjNd gkNH k H e H k e k N   

　(3.15)

　  20,1,2, , 1g dgH k H k k NN       (3.16) 并加入过渡带采样。

　Step 5 ：对   H k 进行 N 点 IDFT，得到第一类线性相位 FIR 数字滤波器的单位脉冲响应：

　     1010,1,2, , 1NknNkh n IDFT H k H k W n NN        (3.17) Step 6 ：检验设计结果。若阻带最小衰减和滤波器边界频率未达到指标要求，则需调整过渡带采样值和  dgH  的边界频率。

　例 7.3.1 用频率采样法设计第一类线性相位低通 FIR 数字滤波器，要求通带截止频率 3p   ，阻带最小衰减大于 40dB，过渡带宽度 16tB   。

　窗函数设计法和频率采样法的不足：

　 边界频率不易精确控制；  窗函数法总使通带和阻带波纹幅度相等，频率采样法只能依靠过渡带采样点的取值控制阻带波纹幅度，都不能分别控制通带和阻带波纹幅度；  所设计的滤波器在阻带边界频率附近衰减最小，距阻带边界越远，衰减越大。所以，若阻带边界频率附近的衰减刚好达到设计指标要求，则阻带中其它频段的衰减就有很大富余量。

　7. 4 利用切比雪夫逼近法设计 R FIR 滤波器

　1、切比雪夫逼近法的特点 切比雪夫逼近法是一种等波纹逼近法，它是误差在整个频带均匀分布，对同样的技术指标，这种逼近法需要的滤波器阶数低，而对同样的滤波器阶数，这种逼近法的最大误差最小。

　2、切比雪夫最佳一致逼近准则

　设希望设计的滤波器幅度特性为  dH  ，实际设计的滤波器幅度特性为 gH  ，其加权误差   E  用下式表示：

　       d gE W H H         

　(4.1) 式中，   W  成为误差加权函数，它是为在通带或阻带要求不同的逼近精度而设计的。一般地，在要求逼近精度高的频带，   W  取值大，要求逼近精度低的频带，   W  的取值小。设计过程中   W  为已知函数。

　为设计具有线性相位的 FIR 滤波器，其单位脉冲响应   h n 或幅度特性必须满足一定条件。假设设计的是     1 h n h N n    ，N=奇数情况，

　   12NjjgH e e H

　式中

　    1120cosNgnH a n n   将  gH  代入(4.1)式，则

　       0cosMdnE W H a n n         (4.2) 式中12NM 。最佳一致逼近的问题是选择 M+1 个系数   a n ，是加权误差   E 的最大值为最小，即

　  min maxAE   式中 A 表示所研究的频带，这里指通带或阻带。按照(4.2)式，这是一个由 M 次多项式，根据上面提出的准则逼近一连续函数的问题。切比雪夫理论指出,这个多项式存在且唯一，构造该多项式的方法是“交错点组定理”。

　交错点组定理指出,最佳一致逼近的充要条件是   E  在 A 上至少呈现 M+2 个“交错”，使得

　    1 i iE E    

　     maxiAE E 

　 0 1 2 1 , MA        

　按照该准则设计的滤波器通带或阻带具有等波纹性质。

　3、利用最佳一致逼近准则设计线性相位 FIR 滤波器 (1)设计思想 设我们希望设计的滤波器是线性相位低通滤波器，其幅度特性为

　 1, 00,pdsH         式中p 为通带截止频率，s 为阻带截止频率，如图 7.4.1 所示，1 为通带波纹峰值，2 为阻带波纹峰值。

　图 7.4.1 低通滤波器的最佳逼近 设单位脉冲响应长度为 N。如果我们知道了 A 上的 M+2 个交错点频率：0 ，1 ，…，1 M按照(4.2)式，并根据交错点组准则，可写出

　        0cos 1max , 0,1,2, , 1Mkk d k knAW H a n nE k M              (4.3)

　将(4.3)式写成矩阵形式

　             0 0 0001 1 11122 2 220 1 11111 cos cos2 cos011 cos cos2 cos1211 cos cos2 cos11 cos cos2 cosdddd M Md M MM M MMMWH aMH aWH aMWH aHMW                                               

　(4.4) 解上式，可以唯一地求出   , 0,1,2, , a n n M  ，以及加权误差最大绝对值  。由  a n 可以求出滤波器的   h n 。

　（2）存在的问题 但是，由于实际上这些交错点组的频率0 ，1 ，…，M 是不知道的，且直接求解(4.4)式也是比较困难的。

　（3）问题的解决 在实际应用中，是通过 Remez 算法求解得。

　（4）Remez 算法 Remez 算法是一种迭代算法，具体步骤如下：

　Step 1: 在频域等间隔取 M+2 个频率0 ，1 ，…，1 M，作为交错点组的初始值。按下式计算  值：

　   10101Mk d kkMkkkka HaW (4.5) 式中

　  10,11cos cosMkki i ki ka    (4.6) 一般初始值i 并不是最佳的极值频率，  也不是最优估计误差，它是相对于初始值产生的偏差。然后利用拉格朗日插值公式，求出  gH  ，即

　 00cos coscos cosMkkkkg MkkkCH      (4.7) 式中

　    1 , 0,1,2, ,kk d kkC H k MW   

　(4.8)  0,11cos cosMkki i ki k   

　(4.9) 把  gH  代入(4.2)式，求出误差函数   E  。如果对所有的频率都有  E    ，说明  是波纹的机制，频率0 ，1 ，…，1 M是交错点组频率。一般第一次估计的位置不会恰好是交错点组，在某些频率可能   E    ，说明需要交换初始交错点组中的某些点，形成一组新的交错点组。

　Step 2: 对上次的0 ，1 ，…，1 M中每一点，都检查其附近是否存在某一频率   E    ，如有，再在该点附近找出局部极值点，并用该点代替原来的点。待 M+2 个点都检查过，便得到新的交错点组0 ，1 ，…，1 M，再次利用(4.5)-(4.9)是求出  、  gH  和   E  ，于是完成了一次迭代，也完成一次交错点组的交换。

　Step 3: 利用和第二步相同的方法，把各频率处使   E    的点作为新的局部极值点，从而又得到一组新的交错点组。

　重复以上步骤，  最后收敛到自己的上限，此时  gH  最佳一致逼近  dH  。

　如果再迭代，误差曲线   E  的峰值将不会大于  ，此时迭代结束。由最后一组交错点组，按(4.7)时算出  gH  ，再由  gH  求出   h n 。

　Remez 算法流程图如图 7.4.2 所示：

　给出M＋2个交错点组频率初始值：ω i , i＝ 0,1,2,…, M＋1得用（7.4.7)式计算偏差ρ得用（7.4.9)式计算H d (ω )计算误差函数E(ω )，以及局部极值点频率，在这些点上满足得到一组新的交错点组频率极值点是M＋2个还是M＋3个？极值频率相对上次是否变化？得到最佳一致逼近的H d (ω )结束舍掉两个端点中使偏差较小的一个M＋3M＋2不变 E(ω )

　ρ 图 7.4.2 Remez 算法流程图 需要说明的是，在 Remez 算法中，已知条件是 N、p 和s ，而1 和2 是可变的，在迭代过程中可最佳确定。另外，指定p 和s 作为极值频率，最多将会出现 M+3 个极值频率，因采用交错点组准则，只需要 M+2 个，只需要去掉 0,   中呈现较小误差的频率点，仍选 M+2 个交错点组频率。

　4、线性相位 FIR 滤波器的四种类型统一表示式 上面我们以   h n 偶对称，且 N=奇数为例介绍了等波纹逼近算法。为了也能适用于其它三种情况，需要将线性相位 FIR 滤波器的四种类型用统一表示式表示，设计时只要将所需类型转换成统一表示式即可。

　在 7.1 节，我们已推导出线性相位的四种情况，它们的幅度特性  gH  分别如下式：

　（1）

　    1 h n h N n    ，N=奇数    120cosNgnH a n m   

　（2）

　    1 h n h N n    ，N=偶数    211cos2NgnH b n n             （3）

　    1 h n h N n    ，N=奇数    121sinNgnH c n n   

　（4）

　    1 h n h N n    ，N=偶数    211sin2NgnH d n n             经过推导可把  gH  统一表示为

　     gH Q P    

　(4.10) 式中，   P  是系数不同的余弦组合式，   Q  是不同的常数，四种情况的   Q 和   P  如表 7.4.1 所示。

　表 7.4.1 线性相位 FIR 滤波器四种情况 表中   b n 、   c n 和   d n 与原系数   b n 、   c n 和   d n 之间关系如下：

　              11 0 121121122,3, , 1b b bb n b n b nb M b Mn M          (4.11)                 11 0 2211 1211 221122,3, , 2c c cc n c n c nc M c Mc M c Mn M           

　 (4.12)              11 0 121121122,3, , 1d d dd n d n d nd M d Mn M         

　 (4.13) 将(4.10)代入(4.1)式，得到

　                ddHE W H P Q W Q PQ                 令

　     ˆW W Q    

　(4.14)

　   ˆddHHQ

　(4.15) 则

　       ˆ ˆdE W H P        (4.16) 上式中要保证   0 Q   ，因此，要除去 0   和    点。(4.14)-(4.16)式，即

　是四种情况的统一表达式。这样设计滤波器时，给定技术指标后，首先要根据具体选用的情况，按照(4.14)-(4.16)式，进行统一表达式的转换，再按前面介绍的算法进行设计。用切比雪夫逼近法设计线性相位 FIR 滤波器的程序框图如下所示：

　输入滤波器技术要求：N，H d (ω ),W(ω )给出M＋2个交错点组频率初始值：ωi , i＝ 0,1,2,…, M＋1调用Remez算法程序求解最佳极值频率和P(ω )系数按要求的滤波器类型求出：W(ω )，H d (ω ), P(ω )＾ ＾计算单位脉冲响应h(n)输出最佳误差和h(n) 图 7.4.3 利用切比雪夫逼近法设计线性相位 FIR 滤波器程序框图

　5、三种设计方法优劣性比较 (1) 频率采样法是直接在频率域采样，在采样点上保证了设计的滤波器 jH e和希望的滤波器 jdH e幅度值相等，而在采样点之间使用内插函数和 dH k 相乘的线性组合形成的。缺点是频域不连续点附近误差大，且边界频率不易控制。

　(2) 窗函数法是用窗函数直接截取希望设计的滤波器的  dh n 的一段，作为滤波器的   h n ，这是一种时域逼近法。如果用 jE e表示 jdH e和所设计滤波器 jH e之间的频响误差

　     j j jdE e H e H e   

　(4.17) 其均方误差为

　  2212je E e d (4.18) 则可以证明采用矩形窗时，2e 是最小的，也就是说，矩形窗是一种最小均方误差设计法。

　注意：这里的最小是指在整个频带上积分最小，它保证了具有最窄的过渡带，但由于吉布斯效应，使过渡带附近的通带内有较大的上冲，而阻带衰减过小。为此，使用其它的窗函数，用加宽过渡带的方法来换取阻带衰减的加大和通带的平稳性。然而，这些窗函数的使用已不再是最小均方误差设计法。

　(3) 利用切比雪夫逼近法设计 FIR 滤波器，由于采用了等波纹逼近，误差均匀地分布在频带内，可以得到优良的滤波特性，这是一种滤波器的优化设计方法。它比较窗函数法和频率采样法，在同样过渡带较窄的情况下，通带最平稳，阻带有最大的最小衰减。

　图 7.4.4 利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性 R 7.5 IIR 和 和 R FIR 数字滤波器的比较

　1、从性能上看，IIR 滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用存储单元少，所以经济而效率高。但是，这个高效率是以相位的非线性为代价的。选择性越好，则相位非线性越严重。相反，FIR 滤波器却可以得到严格的线性相位，然而由于 FIR 滤波器传输函数的极点固定在原点，所以只能用较高的阶数达到高的选择性。对于同样的滤波器设计

　指标，FIR 滤波器所要求的阶数可以比 IIR 滤波器高 5-10 倍，结果，成本较高，信号延时较大。如果按相同的选择性和相同的线性要求来说，则 IIR 滤波器就必须加全通网络进行相位校正，同样要大大增加滤波器的结束和复杂性。

　2、从结构上看，IIR 滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。另外，在这种结构中，由于运算过程对序列的舍入处理，这种悠闲字长效应有时会引起寄生振荡。FIR 滤波器主要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的悠闲京都运算中都不存在稳定性问题，运算误差较小。此外，FIR 滤波器可以采用快速 Fourier 变换算法，在相同阶数条件下，运算速度可以快得多。

　3、从设计工具看，IIR 滤波器可以借助模拟滤波器的成果，因此一般都有有效地封闭形式的设计公式可供准确计算，计算工作量较小，对计算工具要求不高。FIR 滤波器设计则一般没有封闭形式的设计公式。窗口法虽然仅仅对窗口函数可以给出计算公式，但计算通带、阻带衰减等仍无显示表达式。一般，FIR 滤波器的设计只有计算程序可循，因此对计算工具要求较高。

　4、IIR 滤波器虽然设计简单，但主要用于设计具有片段常数特性的滤波器，如低通、高通、带通及带阻等，往往脱离不了模拟滤波器的格局。而 FIR 滤波器则要灵活得多，尤其是它能适应某些特殊应用，如构成微分器或积分器，或用于巴特沃思、切比雪夫等逼近不可能达到预定指标的情况。