第43炼,线性规划——作图与求解
第 43 炼 线性规划——作图与求解 一、基础知识 1、相关术语:
(1)线性约束条件:关于变量 , x y 的一次不等式(或方程)组 (2)可行解:满足线性约束条件的解 , x y
(3)可行域:所有可行解组成的集合 (4)目标函数:关于 , x y 的函数解析式 (5)最优解:是目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、如何在直角坐标系中作出可行域:
(1)先作出围成可行域的直线,利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点(比如坐标轴上的点),以便快速做出直线 (2)如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧:一条曲线(或直线)将平面分成若干区域,则在同一区域的点,所满足不等式的不等号方向相同,所以可用特殊值法,利用特殊点判断其是否符合不等式,如果符合,则该特殊点所在区域均符合该不等式,具体来说有以下三种情况:
① 竖直线 x a 或水平线 y b :可通过点的横(纵)坐标直接进行判断 ② 一般直线 0 y kx b kb :可代入 0,0 点进行判断,若符合不等式,则原点所在区域即为不等式表示区域,否则则为另一半区域。例如:不等式 2 3 0 x y ,代入 0,0 符合不等式,则 2 3 0 x y 所表示区域为直线 2 3 0 x y 的右下方 ③ 过原点的直线 0 y kx k :无法代入 0,0 ,可代入坐标轴上的特殊点予以解决,或者利用象限进行判断。例如:
y x :直线 y x 穿过一、三象限,二、四象限分居直线两侧。考虑第四象限的点 0, 0 x y ,所以必有 y x ,所以第四象限所在区域含在 y x 表示的区域之中。
(3)在作可行域时要注意边界是否能够取到:对于约束条件 , 0 F x y (或 , 0 F x y )边界不能取值时,在图像中边界用虚线表示;对于约束条件 , 0 F x y (或 , 0 F x y )边界能取值时,在图像中边界用实线表示
3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤 (1)根据约束条件,在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域 (2)确定目标函数 z 在式子中的几何意义,常见的几何意义有:(设 , a b 为常数)
① 线性表达式——与纵截距相关:例如 z ax by ,则有a zy xb b ,从而 z 的取值与动直线的纵截距相关,要注意 b 的符号,若 0 b ,则 z 的最大值与纵截距最大值相关;若 0 b ,则 z 的最大值与纵截距最小值相关。
② 分式——与斜率相关(分式):例如y bzx a:可理解为 z 是可行域中的点 , x y 与定点 , a b 连线的斜率。
③ 含平方和——与距离相关:例如 2 2z x a y b :可理解为 z 是可行域中的点 , x y 与定点 , a b 距离的平方。
(3)根据 z 的意义寻找最优解,以及 z 的范围(或最值)
4、线性目标函数影响最优解选取的要素:当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时,目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。
例如:若变量 , x y 满足约束条件003 2 122 8xyx yx y ,则 3 4 z x y 的最大值等于_____ 作出可行域如图所示,直线 3 2 12 x y 的斜率132k ,直线 2 8 x y 的斜率212k ,目标函数的斜率34k ,所以2 1k k k ,所以在平移直线时,目标函数直线的倾斜程度要介于两直线之间,从而可得到在 2,3 A 取得最优解。但在作图中如果没有考虑斜率间的联系,平移的直线比 2 8 x y 还要平,则会发现最优解在 0,4 B 处取得,以及若平移的直线比 3 2 12 x y 还要陡,则会发现最优解在 4,0 C 处取得,都会造成错误。所以在处理目标函数与约束条件的关系时,要观察斜率的大小,并确定直线间“陡峭”程度的不同。
(1)在斜率符号相同的情况下:
k 越大,则直线越“陡”
(2)在作图和平移直线的过程中,图像不必过于精确,但斜率符号相同的直线之间,陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致,这样才能保证最优解选取的准确 (3)当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时,有可能达到最值的最优解有无数多个(位于可行域的边界上)
(4)当目标函数的斜率含参时,涉及到最优解选取的分类讨论,讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点。
二、典型例题:
例 1:若变量 , x y 满足约束条件2 002 2 0x yx yx y ,则 2 z x y 的最小值等于(
)
A.
52
B.
2
C.
32
D.
2
思路:按照约束条件作出可行域,可得图形为一个封闭的三角形区域,目标函数化为:
2 y x z ,则 z 的最小值即为动直线纵截距的最大值。目标函数的斜率大于约束条件的斜率,所以动直线斜向上且更陡。通过 平 移 可 发 现 在 A 点 处 , 纵 截 距 最 大 。
且2 0:2 2 0x yAx y 解得11,2A ,所以 2 z x y 的最小值 min1 52 12 2z
答案:A 例 2:设变量 , x y 满足约束条件2 02 01x yx yy ,则目标函数 2 z x y 的最小值为(
)
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
思路:作出目标函数的可行域,得到一个开放的区域,目标函数12 2zy x , 通 过 平 移 可 得 最 优 解 为 2 0: 1,11x yA Ay ,所以min3 z
答案:B
例 3:若变量 , x y 满足12 0xx yx y ,则2 2z x y 的最大值为(
)
A.
10
B.
7
C.
9
D.
10
思路:目标函数2 2z x y 可视为点到原点距离的平方,所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可,作出可行域,观察可得最远的点为 1, 3 A ,所以2max10 z OA
答案:D 例 4:设变量 , x y 满足约束条件2 2 02 2 01 0x yx yx y ,则11ysx的取值范围是(
)
A. 31,2
B.
1,12
C.
1,2
D.
1,22 思路:所求11ysx可视为点 , x y 与定点 1, 1 连线的斜率。从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可,可得在 1,0 处的斜率最小,即 min0 1 11 1 2k ,在 0,1处的斜率最大,为 max1 120 1k ,结合图像可得11ysx的范围为1,22 答案:D 例 5:若实数 , x y 满足条件01 00 1x yx yx ,则 3 x y 的最大值为(
)
A.
6
B.
5
C.
4
D.
3
思路:设 3 z x y ,则可先计算出 z 的范围,即可求出 z 的最大值:1 13 3y x z ,则最优解为 1, 1 , 1,2 A B ,所以 5,4 z ,则max5 z
答案:B 例 6 :
设 O 为 坐 标 原 点 , 点 M 的 坐 标 为 2,1 , 若 点 , N x y 满 足 不 等 式 组4 3 02 12 01x yx yx ,则使 OM ON 取得最大值的点 N 的个数有(
)
A.
1
B.
2
C.
3
D. 无数个 思路:设 2 z OM ON x y ,作出可行域,通过平移可发现达到最大值时,目标函数与直线 2 12 0 x y 重合,所以有无数多个点均能使OM ON 取得最大值 答案:D 例 7 :( 2015 , 福 建 )
变 量 , x y 满 足 约 束 条 件02 2 00x yx ymx y ,若 2 z x y 的最大值为 2 ,则实数m 等于(
)
A.
2
B.
1
C.
1
D.
2
思路:本题约束条件含参,考虑先处理常系数不等式,作出图像,直线 y mx 为绕原点旋转的直线,从图像可观察出可行域为一个封闭三角形,目标函数 2 y x z ,若 z 最大则动直线的纵截距最小,可 观 察 到 A 为 最 优 解 。2 2 0 2 2: ,2 1 2 1x y mA Ay mx m m , 则 有2 22 22 1 2 1mzm m ,解得:
1 m
答案:C 小炼有话说:当线性约束条件含参数时,一方面可先处理常系数不等式,作出可行域的大致
范围,寻找参数变化时,可行域的共同特征;另一方面对含参数的直线确定是否过定点,在变化中寻找区域的规律。找到共同的最优解所满足的方程,便可根据最值求出参数 例 8:在约束条件2101 0xx y mx y 下,若目标函数 2 z x y 的最大值不超过 4,则实数m 的取值范围是(
)
A.
3, 3
B.
0, 3
C. 3,0
D. 3, 3
思路:先做出常系数直线,动直线20 x y m 时注意到20 m ,斜率为常数 1,且发现围成的区域恒为一个三角形。目 标 函 数 2 y x z , 通 过 图 像 可 得 最 优 解 为2 221 01 1: ,2 2 0x ym mA Ax y m , 所 以2 22max1 1 3 122 2 2 2m mz m ,则23 142 2m 解得:
3, 3 m 答案:D 例 9:若变量 , x y 满足约束条件020x yx yy ,若 z ax y 的最大值为 4,则 a (
)
A.
3
B.
2
C.
2
D.
3
思路:如图作出可行域,目标函数为 y ax z ,由于 a 决定直线的方向,且约束条件中的直线斜率有正有负。所以先考虑 a 的符号:
当 0 0 a a 时,此时与 y x 的斜率进行比较:
若 1 1 a a ,则 z 的最大值为 0,不符题意; 若 0 1 1 0 a a ,则最优解为 1,1 A ,代入解得3 a 与初始范围矛盾,故舍去;当 0 0 a a 时,直线与2 x y 斜率进行比较:
若 1 1 a a ,则最优解为 2,0 B ,代入解得 2 a ,符合题意 若 1 a ,可得 z 的最大值为 2,不符题意,舍去
若 0 1 0 1 a a ,则最优解为 1,1 A ,代入解得 3 a 与初始范围矛盾,舍去 综上所述:
2 a
答案:B 小炼有话说:(1)目标函数的直线陡峭程度不同,会导致最优解不同,所以当斜率含参时,可在约束条件中寻找斜率与目标函数斜率同号的直线,则这些直线的斜率通常是分类讨论的分界点。
(2)本题也可分别假设可行域 3 个顶点为最优解,求出 a 的值,再带入验证。
例 10:设 , x y 满足约束条件3 2 000, 0x yx yx y ,若目标函数 0, 0 z ax by a b 的最大值为 2 ,则1 1a b 的最小值是(
)
A.
256
B.
83
C.
2
D.
4
思 路 :
先 做 出 可 行 域 , 目 标 函 数a zz ax by y xb b ,由 0, 0 a b 可得直线的斜率为负,所以由图像可得最大值 在 1 , 1 处 取 得 , 即m a x2 z a b , 所 以 1 1 1 1 1 12 22 2b aa ba b a b a b 答案:C 小炼有话说:本题判断出斜率为负是解题的关键,从而能迅速通过平移直线得到最优解,而后与均值不等式结合求出最值 三、历年好题精选 1、(2016,衡阳联考)如果实数 , x y 满足条件2 01 02 0x yxy ,则yzx a的最小值为12,则正数 a 的值为__________ 2、(2014,温州中学三月考)已知实数 , x y 满足135 4y xxx y ,则2xy的最小值是_________
3、若点 1,1 在不等式组02 4 03 3m nx ymx nynx y m 所表示的平面区域内,则2 2m n 的取值范围是_________ 4、(2016,南昌二中四月考)已知实数 , x y 满足205 01 14 4x yx yy x ,则 222 22x y yx y 的取值范围是________ 5、设实数 y x, 满足2 02 5 02 0x yx yy ,则yxxyu 的取值范围为(
)
A. 2 ,31
B. 2 ,38
C.
23,38
D. 23, 0
6、设实数 , x y 满足2 412 2x yx yx y ,则 z x y 为(
)
A. 有最小值 2,最大值 3
B. 有最小值 2,无最大值 C. 有最大值 3,无最小值
D. 既无最小值,也无最大值 7、设 , x y 满足约束条件:04 3 12xy xx y ,则2 31x yx 的最小值是(
)
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
8、(2016,湖南师大附中月考)若实数 , x y 满足2 01 01x yy xx ,设 2 , 2 u x y v x y ,则uv的最大值为(
)
A.1
B.54
C.75
D.2 9、(2015,北京)若 , x y 满足010x yx yx ,则 2 z x y 的最大值为(
)
A.
0
B.
1
C.
32
D.
2
10、 (2015,广东)若变量 , x y 满足约束条件4 5 81 30 2x yxy ,则 3 2 z x y 的最小值为(
)
A.315
B. 6
C. 235
D.
4
11、(2015,新课标 I)若 , x y 满足约束条件1 004 0xx yx y ,则yx的最大值为________ 答案:3 12、(2015,新课标 II)若 , x y 满足约束条件1 02 02 2 0x yx yx y ,则 z x y 的最大值为____ 13、(2015,山东)已知 , x y 满足约束条件020x yx yy ,若 z ax y 的最大值为 4 ,则 a (
)
A.
3
B.
2
C.
2
D.
3
14、(2014,北京)若 , x y 满足约束条件2 02 00x ykx yy ,且 z y x 的最小值为 4 ,则 k 的值为(
)
A.
2
B.
2
C.
12
D.
12
习题答案:
1 、答案:1 解析:根据约束条件画出可行域,可知11xy 时,min12z 即1 111 2aa 2、 、答案:
4
解析:设2xzy ,则有2x zy ,则可知抛物线与不等式可行域有公共点,作出可行域,如图 可 知 当 1 y x 与 抛 物 线 相 切 时 , 此 时 z 取 得 最 小 值 , 联 立 方 程2201x zyx zx zy x ,所以判别式24 0 4 z z z
3、 、答案:9,6110 解析:将 1,1 代入02 4 03 3m nx ymx nynx y m 可得:1 02 4 03 3 0m nm nm n ,作出可行域,2 2m n 可视为点 , m n 到原点距离的平方。结合图像可知:
5,6 到原点距离最大,即 2 2max61 m n 原点到直线 3 3 0 m n 的距离为3 1010,所以 2 2min910m n
4、 、答案:13 5,9 3 解析: 222 2 2 2 2221 12 21 2yx y y xyxzx y x yyx ,其中ykx 可视为 , x y 与 0,0 连线的斜率,作出可行域,数形结合可得:直线 ykx 与21 14 4y x 在第一象限相切时, k 取得最大值,解得:
1,2 k ,
22 21 111 22kzkkk ,而 1,2 k 时,1 92 3,2kk ,所以13 5,9 3z
5 5、 、答案:C 解析:令ytx ,作出可行域,可知 t 可视为 , , 0,0 x y 连线的斜率,1,23t
且1u tt 为1,23t 关于 t 的增函数,所以8 3,3 2u
6 、答案:B 解析:作出可行域(为开放区域),再平移直线 y x z 即可得到 z 在 2,0 处达到最小值,即min2 z ,但没有最大值 7 、答案:B 解析:2 3 11 21 1x y yux x ,则11ykx可视为可行域中的点 , x y 与 1, 1 连线的斜率,作出可行域可得:
1,5 k ,所以 u 的最小值为 3 8 8、 、答案:C 解析:方法一:1 32 1 3 12 22 2 2 22 1x y yu x yxv x y x yy ,其中xy为可行域中的点 , x y 与原点 0,0 连线斜率 k 的倒数,作出可行域可知:
1,3 k,所以1,13xy ,从而可计算出71,5uv 方 法 二 :
由22u x yv x y 可 得 :2323v uxu vy , 代 入 到 不 等 式 组 可 得 :
2 22 03 362 21 0 13 32 3213v u u vu vu v v uu vv uv u ,作出可行域,所求ukv 为 , v u 与 0,0 连线的斜率,数形结合即可得到最大值为75
9 、答案:D 解析:1 122 2z x y y x z ,作出可行域,可得最优解为 0,1 时, z 取得最大值 2
10 、答案:C 解析:由 3 2 z x y 可得:32 2zy x ,数形结合可知32 2zy x 经过41,5A 时,z 取得最小值min4 233 1 25 5z
11、 答案:3 解析:作出可行域(如图所示),所求分式00y yx x,即可行域中点与原点连线的斜率最大值,由图可知点 1,3 A 与原点连线斜率最大,所以yx的最大值为 3
12、答案:32
解析:目标函数变为 y x z ,即求动直线纵截距的最大值,作出可行域,数形结合可得直线过11,2D ,则max32z
xy–1 –2 –3 –4 1 2 3 4–1–2–3–41234DCBO
13 、答案:B 解析:由 z ax y 得 y ax z ,借助图形可知:当 1 a ,即 1 a 时在 0 x y 时有最大值 0,不符合题意;当 0 1 a ,即 1 0 a 时在 1 x y 时有最大值1 4, 3 a a ,不满足 1 0 a ;当 1 0 a ,即 0 1 a 时在 1 x y 时有最大值 1 4, 3 a a ,不满足 0 1 a ;当 1 a ,即 1 a 时在 2, 0 x y 时有最大值2 4, 2 a a ,满足 1 a ,所以 2 a
14 、答案:D 解析:目标函数变形为 y x z ,由直线2 0 kx y 可得该直线过定点 0,2 ,分0, 0 k k 讨论,若 0 k ,则由图可知 y x z 纵截距的最小值在直线过 2,0 处取得,即min2 z ,不符题意;当 0 k 时,可知直线 y x z 纵截距的最小值过 2 0 kx y 与 x 轴的交点2,0k ,所以min20 4 zk ,解得12k
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我国开展了全面的普法宣传工作,法制宣传教育、普及法律常识作为经常的重要任务。做法制教育手抄报,普及法律知识。下面是小编为大家带来的法律知识手抄报图片大全,希望大家...
【古典文学】 日期:2020-03-10
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乳糖检测方法
附录A(规范性附录) 乳糖的测定A 1原理牛乳或乳粉样液经沉淀剂澄清后,样液中的乳糖在苯酚、氢氧化钠
【古典文学】 日期:2020-12-08
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时尚女装店面装修效果图|韩式女装店面装修
在服装店的设计之中,我们要将多变、创新、品牌自身的定位与发展趋势相结合,用一种可持续的设计方式呈现出来,以便更加适应不断更新的展示主体。下面小编就为大家解开时尚女装店...
【中国文学】 日期:2019-05-16
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2021年超星尔雅学习通《辩论与修养》章节测试试题(共183题附答案)
2021年超星尔雅学习通《辩论与修养》章节测试试题(共183题附答案)1、辩论的目的不是单纯获得某种
【中国文学】 日期:2021-05-12
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天地人格最佳搭配起名技巧|天地人格的五行怎么算
天地有阴有阳,物体刚柔表里,而数字则有一个诱导力,那么你知道怎么计算天地人格来取名吗?今天小编为你整理了天地人格最佳搭配起名技巧,一起来看看用天地人格取名的方法有哪些...
【中国文学】 日期:2019-06-06
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信息技术重要性
信息技术的重要性 信息技术与课程整合将带来课程内容的革新,信息技术的高速发展,要求传统的课程必须适应
【中国文学】 日期:2021-02-11
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【世界上最大的半岛】阿拉伯半岛
你知道世界上最大的半岛是什么吗?下面由小编来介绍一下。 阿拉伯半岛的简介 阿拉伯半岛(阿拉伯文:)位于亚洲,是世界上最大的半岛。沙特阿拉伯、也门、阿曼、阿拉伯联合...
【中国文学】 日期:2019-05-24
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2022年当前世界下中国面临国际形势论文范本
和平与发展仍然是当今时代的主题。谋和平、求合作、促发展是各国人民的共同愿望。为了大家学习方便,下面是小编为大家整理的当前世界下中国面临的国际形势论文范文内容,以供参...
【中国文学】 日期:2022-03-31
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雪天安全行车注意事项_雪天安全行车提示语
维护城市交通秩序,争做河源文明市民。你们想看看雪天安全行车提示语有哪些吗?以下是小编推荐雪天安全行车提示语给大家,欢迎大家阅读! 安全行车温馨提示语【经典篇】 1...
【中国文学】 日期:2020-03-15
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2021年5月时事政治热点(国内+国际)
2021年年5月时事政治热点(国内+国际)国内部分 1 55月月66日,由商务部和海南省人民政府共同
【中国文学】 日期:2021-06-10
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古代人物漫画女生唯美图片欣赏 漫画人物图片女孩唯美
中国漫画始于清末民初,而平面设计虽然其名称是在改革开放以后确立的,但设计活动却自古就有,二者的相互影响是本文的主要讨论范围。小编整理了唯美古代女生人物漫画,欢迎阅读!...
【中国文学】 日期:2020-03-19
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关于通过努力获得成功的故事:靠自己努力成功的例子
努力,是成功的一半。人生道路上难免会遇到挫折,但我们不应后退,应向理想之路奋勇前进。关于名人努力成功的故事你了解吗?以下是小编分享的关于通过努力获得成功的故事,一起...
【中国文学】 日期:2020-03-03
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山东省生产经营单位安全生产主体责任规定(303号令)
山东省生产经营单位安全生产主体责任规定(2013年2月2日山东省人民政府令第260号公布根据2016
【外国名著】 日期:2020-10-22
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改革开放大事记简表(改革开放新时期1978-2012年)
改革开放大事记简表 (1978-2012年) 时间1978年12月18日至22日地点北京事件党的十一
【外国名著】 日期:2021-06-17
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大学生音乐欣赏论文 大学音乐鉴赏论文3000
今天小编就为你介绍关于大学生音乐欣赏论文,下面是!小编给你搜集了相关资料!希望可以能帮助到大家。 大学生音乐欣赏论文—第一篇 音乐是生活不可缺少的一部分,学会欣...
【外国名著】 日期:2019-05-27
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材料力学金属扭转实验报告
材料力学金属扭转实验报告 【实验目的】 1、验证扭转变形公式,测定低碳钢的切变模量G。;测定低碳钢和
【外国名著】 日期:2020-11-27
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长豆角家常做法怎么做好吃营养 炒豆角的家常做法
豆角在我们日常生活中是很常见的食材,可能我们只知道它含有优质蛋白和维生素,其实它还有其他的营养价值。它也是可以和很多食材做搭配的。下面小编为大家整理了长豆角的做法...
【外国名著】 日期:2020-02-26
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白烛葵的花语:白烛葵的不死幻想症
白烛葵,花名,花语为“不感兴趣”。现又指《知音漫客》上连载漫画《极度分裂》里主要角色之一。下面小编为你整理了白烛葵的花语。欢迎阅读。 白烛葵的花语:不感兴趣 ...
【外国名著】 日期:2019-05-11
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植物装饰画黑白图片欣赏|荷花装饰画黑白图片
装饰画是一种装饰性艺术,是装饰性和创造性相结合的艺术设计形式。小编整理了植物装饰画黑白,欢迎阅读! 植物装饰画黑白图片展示 植物装饰画黑白图片1 植物装饰画黑白...
【外国名著】 日期:2019-05-31
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(新版)就业知识竞赛题库(全真题库) 一、单选题1 (单选):在职业生涯规划工具中,组织在展开员工职
【外国名著】 日期:2021-07-21
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坚定不移全面从严管党治警研讨发言稿
坚定不移全面从严管党治警研讨发言稿政治建警、从严治警是党在新时代的建警治警方针。一年前的全国公安工作
【外国名著】 日期:2020-09-18
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[10.1旅游去哪里好玩] 旅游去哪里好玩
十月一到,秋意已在一个我们不经意的黎明走来,习习凉风,却是最适合出门游行。小编为您整理了10 1旅游去哪里好玩,秋天,我们一起出发吧。 1、云南建水古城 建水古城...
【外国名著】 日期:2020-03-01
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梧桐花的花语|梧桐花的功效与作用
梧桐花为梧桐科植物梧桐的花,植物形态详梧桐子条。今天小编为你整理了梧桐花的花语,欢迎阅读。 梧桐花的花语是:情窦初开 在春季里晚开的花朵,有着恬淡的气息。 ...
【寓言童话】 日期:2020-03-03
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西部计划笔试题库(99题含答案)
西部计划笔试题库(99题含答案) 1 第十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》,自
【寓言童话】 日期:2021-06-16
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【寓言童话】 日期:2020-03-12
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年学生资助诚信教育主题活动方案
各二级学院(部): 为深入贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述,落实立德树人根本任务,增强当代大学
【寓言童话】 日期:2020-06-21
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主题教育调查研究工作方案2篇
主题教育调查研究工作方案1根据省、市、县开展“不忘初心、牢记使命”主题教育工
【寓言童话】 日期:2021-03-19
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油管、套管规格尺寸对照表
API油管规格及尺寸 公称尺寸(in) 不加厚外径(mm) 不加厚内径(mm) 加厚外径(mm) 加
【寓言童话】 日期:2020-08-31
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惊悚鬼故事50字 令人惊悚的故事
这些惊悚故事在短短的篇幅和时间之内让您感受到故事里传达出来的恐怖感,令你感到害怕。下面就是小编给大家整理的令人惊悚的故事,希望对你有用! 令人惊悚的故事篇1:学校...
【寓言童话】 日期:2019-05-13
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【古代男生漫画图片大全】男生漫画头像
漫画和动画组成了动漫产业的两大支柱。然而,与动画相比,漫画在业界和学界皆相对冷清。小编整理了古代男生漫画,欢迎阅读! 古代男生漫画图片展示 古代男生漫画图片1 ...
【寓言童话】 日期:2019-05-27
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北京最好吃的自助餐厅 北京高档自助餐排名
自助餐简直就是拯救大胃王的最佳饮食!没有之一!世界上没有什么事情是吃一顿自助餐解决不了的,如果有,那就吃两顿!下面小编给大家推荐北京几家好吃的自助餐。 北京最好吃的...
【寓言童话】 日期:2020-02-25
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信息论与编码期末复习试题含参考答案
信息论与编码期末复习试题含参考答案 在无失真的信源中,信源输出由H(X)来度量;在有失真的信源中,信
【寓言童话】 日期:2021-03-19
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学生高考动员演讲稿
学生高考动员演讲稿3篇高考动员演讲稿11 老师们、同学们: 大家下午好!漫漫高考长征路已经进入尾声了
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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企业安全演讲稿2021
最新企业安全的演讲稿5篇 演讲稿是作为在特定的情境中供口语表达使用的文稿。在充满活力,日益开放的今天
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结_1
XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结 为深入贯彻精准扶贫精准脱贫基本方略,认真落实党中央、国务院,省委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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对乡镇领导班子干部成员批评意见例文
对乡镇领导班子干部成员的批评看法范文 一、对党委书记XXX同志的批评看法〔3条〕 1、与干部交流偏少
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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群英乡扶贫资金项目芬坡村祖埇村生产道路硬化工程绩效自评报告
群英乡扶贫资金项目((芬坡村祖埇村生产道路硬化工程))绩效自评报告 一、基本情况(一)群英乡扶贫资金
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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党委书记警示教育大会上讲话2021汇编
党委书记在警示教育大会上的讲话55篇汇编 党委书记在警示教育大会上的讲话(一) 同志们: 根据省州委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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对于2021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料
关于12021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料 按照中央巡视组要求和省、市、区委统一部署,区
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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消防安全知识培训试题.doc
消防安全知识培训试题姓名: 部门班组: 成绩: 一:填空题,每空4分,共44分。 1、灭火剂是通过隔
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程
涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程 目前,全球疫情仍处于大流行状
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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疫情防控致全体师生员工及家长一封信
疫情防控致全体师生员工及家长的一封信 各位师生员工及全体家长朋友: 暑假已至,近期我省部分地方发现确
【百家讲坛】 日期:2021-08-14