必考点：正弦定理和余弦定理必考点梳理（Word）

时间：2020-10-29 15:18:09 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

相关热词搜索：定理 考点 余弦

　 必考点：

　正弦定理和余弦定理必考点梳理（精编 Word ）

　 一、 正弦定理、余弦定理

　在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内 容 asin A ＝bsin B ＝csin C ＝2R a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bccos A； b 2 ＝c 2 ＋a 2 －2cacos B； c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2abcos C 变 形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C (2)sin A＝a2R ，sin B＝b2R ，sin C＝c2R

　(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ b2 ＋c 2 －a 22bc cos B＝ c2 ＋a 2 －b 22ac cos C＝ a2 ＋b 2 －c 22ab

　二、 三角形中常用的面积公式

　1.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ 12 ah(h 表示边 a 上的高)； (2)S＝ 12 bcsin A＝12 acsinB＝12 absin C； (3)S＝ 12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)． 2.在△ABC 中常用结论 (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 (4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin A＋B2＝cos C2 ；cos A＋B2＝sin C2 . (5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. (6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. (7)合比定理：asin A ＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C ＝2R. (8)在锐角三角形中①A＋B＞ π2 ；②若 A＝π3 ，则π6 ＜B，C＜π2

　 三、实际测量中的常见问题

　求 AB 图形 需要测量的元素 解法 求 竖 直 高 度 底部 可达

　∠ACB＝α， BC＝a 解直角三角形 AB＝atan α 底部 不可达

　∠ACB＝α， ∠ADB＝β， CD＝a 解两个直角三角形AB＝atan αtan βtan β－tan α

　求 水 平 距 离 山 两 侧

　∠ACB＝α， AC＝b， BC＝a 用余弦定理 AB＝ a 2 ＋b 2 －2abcos α 河 两 岸

　∠ACB＝α， ∠ABC＝β， CB＝a 用正弦定理 AB＝asin αsinα＋β

　河 对 岸

　∠ADC＝α， ∠BDC＝β， ∠BCD＝δ， ∠ACD＝γ， CD＝a 在△ADC 中，AC＝asin αsinα＋γ 在△BDC中，BC＝asin βsinβ＋δ ； 在△ABC 中，应用余弦定理求 AB

　（一）仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．

　（二）方位角和方向角 (1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°等．

　 必考点1 1 ：

　利用正弦定理解三角形

　利用正弦定理 可解决两类问题 基本类型 一般解法 已知两角及其中一角的对边，如 A，B，a ①由 A＋B＋C＝180°，求出 C； ②根据正弦定理，得asin A ＝bsin B 及asin A ＝csin C ，求出边 b，c. 已知两边及其中一边所对的角，如 a，b，A ①根据正弦定理，经讨论求 B； ②求出 B 后，由 A＋B＋C＝180°，求出 C； ③再根据正弦定理asin A ＝csin C ，求出边 c. 例题1 ：

　(2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A＝ π6 ，B＝π4 ，a＝1，则 b＝(

　) A．2

　 B．1

　 C． 3

　D． 2 【解析】由正弦定理得 b＝ asin Bsin A＝2212＝ 2.选 D

　变式1 ：

　(2019·山东烟台模拟)在锐角△ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b，若 2asin B＝ 3b，则角 A＝________. 【解析】∵2asin B＝ 3b，∴2sin Asin B＝ 3sin B，得 sin A＝32，∴A＝ π3 或 A＝2π3， ∵△ABC 为锐角三角形，∴A＝ π3 .

　 必考点2 2 ：

　利用余弦定理解三角形

　利用余弦定理可解决两类问题 已知两边 和它们的 夹角，如 a，b，C ①根据余弦定理 c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2abcos C，求出边 c； ②根据 cos A＝ b2 ＋c 2 －a 22bc，求出 A； ③根据 B＝180°－(A＋C)，求出 B. 已知三边 可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由 A＋B＋C＝180°，求出第三个角； 由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先求较小边所对的角. 例题2 ：

　(2019·山东济南期中)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b 2 ＝ac，c＝2a，则 cos C＝(

　) A．24

　 B．－24

　C． 34

　D．－34

　【解析】由题意得，b 2 ＝ac＝2a 2 ，即 b＝ 2a， ∴cos C＝ a2 ＋b 2 －c 22ab＝ a2 ＋2a 2 －4a 22a× 2a＝－24.选 B

　变式2 ：

　(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcos B＝acos C＋ccos A，则 B＝________. 方法一：由 2bcos B＝acos C＋ccos A 及正弦定理， 得 2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A. ∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)． 又 A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B. ∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B. 又 sin B≠0，∴cos B＝ 12 .∴B＝π3 . 方法二：∵在△ABC 中，acos C＋ccos A＝b， ∴条件等式变为 2bcos B＝b，∴cos B＝ 12 . 又 0<B<π，∴B＝ π3 .

　 必考点3 3 ：

　判断 三角形 的形状

　的 判定三角形形状的 2 种常用途径

　例题3 ：

　设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为(

　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【解析】由正弦定理得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin 2 A， ∴sin(B＋C)＝sin 2 A，即 sin(π－A)＝sin 2 A，sin A＝sin 2 A． ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即 A＝ π2 ，∴△ABC 为直角三角形．

　变式3 ：

　本题中，若将条件变为 2sin Acos B＝sin C，判断△ABC 的形状． 【解析】∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin(A－B)＝0. 又 A，B 为△ABC 的内角． ∴A＝B，∴△ABC 为等腰三角形．

　变式4 ：

　本题中，若将条件变为 a 2 ＋b 2 －c 2 ＝ab，且 2cos Asin B＝sin C，判断△ABC 的形状． 【解析】∵a 2 ＋b 2 －c 2 ＝ab，∴cos C＝ a2 ＋b 2 －c 22ab＝ 12 ， 又 0<C<π，∴C＝ π3 ，又由 2cos Asin B＝sin C 得 sin(B－A)＝0，∴A＝B， 故△ABC 为等边三角形．

　 必考点4 4 ：

　求三角形的面积

　例题4 ：

　(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 内角 A，B，C 对边分别为 a，b，c，sin A＋ 3cos A＝0，a＝2 7，b＝2. (1)求 c； (2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积． 【解析】

　(1)由已知可得 tan A＝－ 3，所以 A＝ 2π3. 在△ABC 中，由余弦定理得 28＝4＋c 2 －4ccos 2π3，即 c 2 ＋2c－24＝0，解得 c＝－6(舍去)，c＝4. (2)由题设可得∠CAD＝ π2 ，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6 . 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12 AB·AD·sin π612 AC·AD＝1. 又△ABC 的面积为 12 ×4×2sin∠BAC＝2 3，所以△ABD 的面积为3.

　变式5 ：

　(2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b 2 ＋c 2 －a 2 ＝8，则△ABC 的面积为________. 【解析】∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C， ∴由正弦定理得 sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.又 sin Bsin C>0，∴sin A＝ 12 . 由余弦定理得 cos A＝ b2 ＋c 2 －a 22bc＝82bc ＝4bc >0，∴cos A＝32，bc＝4cos A ＝8 33， ∴S △ ABC ＝ 12 bcsin A＝12 ×8 33× 12 ＝2 33

　 必考点5 5 ：

　解几何计算问题

　例题5 ：

　如图，在△ABC 中，B＝ π3 ，BC＝2，点 D 在边 AB 上，AD＝DC，DE⊥AC，E 为垂足．

　(1)若△BCD 的面积为33，求 AB 的长； (2)若 DE＝62，求角 A 的大小． 【解析】

　(1)∵△BCD 的面积为33，B＝ π3 ，BC＝2， ∴ 12 ×2×BD×sin π3 ＝33，∴BD＝ 23 . 在△BCD 中，由余弦定理可得 CD＝ BC 2 ＋BD 2 －2BC·BD·cos B＝ 4＋ 49 －2×2×23 ×12 ＝2 73. ∴AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝ 2 73＋ 23 ＝2 7＋23. (2)∵DE＝62，∴CD＝AD＝DEsin A ＝62sin A . 在△BCD 中，由正弦定理可得BCsin ∠BDC ＝CDsin B . ∵∠BDC＝2∠A，∴2sin 2A ＝62sin Asin π3，∴cos A＝22.∴A＝ π4 .

　变式6 ：

　 (2018·北京卷)在△ABC 中，a＝7，b＝8，cos B＝－ 17 . (1)求∠A； (2)求 AC 边上的高． 【解析】(1)在△ABC 中，因为 cos B＝－ 17 ，所以 sin B＝ 1－cos 2 B＝ 4 37. 由正弦定理得 sin A＝ asin Bb＝32.由题设知 π2 <∠B<π，所以 0<∠A<π2 .所以∠A＝π3 . (2)在△ABC 中，因为 sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 3 314， 所以 AC 边上的高为 asin C＝7× 3 314＝ 3 32.

　 必考点6 6 ：

　考点 6 6 三角函数求值问题

　例题6 ：

　(2018·天津卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsin A＝acos B－ π6. (1)求角 B 的大小； (2)设 a＝2，c＝3，求 b 和 sin(2A－B)的值． 【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理asin A ＝bsin B ，可得 bsin A＝asin B. 又由 bsin A＝acos B－ π6，得 asin B＝acos B－ π6， 即 sin B＝cos B－ π6，所以 tan B＝ 3.又因为 B∈(0，π)，所以 B＝ π3 . (2)在△ABC 中，由余弦定理及 a＝2，c＝3，B＝ π3 ， 得 b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2accos B＝7，故 b＝ 7. 由 bsin A＝acos B－ π6，可得 sin A＝37

　. 因为 a<c，所以 cos A＝27

　.因此 sin 2A＝2sin Acos A＝4 37， cos 2A＝2cos 2 A－1＝ 17 . 所以 sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝ 4 37× 12 －17 ×32＝ 3 314.

　必考点7 7 ：

　考点 7 7 解三角形综合问题

　例题7 ：

　(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求 cos∠ADB； (2)若 DC＝2 2，求 BC. 【解析】

　(1)在△ABD 中，由正弦定理得BDsin∠A ＝ABsin∠ADB

　即5sin 45°＝2sin∠ADB ，所以 sin∠ADB＝25 由题设知，∠ADB<90°，所以 cos∠ADB＝ 1－225 ＝235 (2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25 在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2 ＝BD 2 ＋DC 2 －2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2 2×25＝25 所以 BC＝5

　 变式7 ：

　(2019·广东惠州模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足(2b－c)cos A＝acos C. (1)求角 A 的大小；(2)若 a＝ 13，b＋c＝5，求△ABC 的面积． 【解析】(1)△ABC 中，由条件及正弦定理得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C， ∴2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin B．∵sin B≠0，∴2cos A＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝ π3 . (2)∵a＝ 13，b＋c＝5，a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bccos A＝(b＋c) 2 －2bc－2bccos π3 ＝52 －3bc＝13， ∴bc＝ 25－133＝4，∴S △ ABC ＝ 12 bcsin A＝12 ×4×sin π3 ＝ 3.

　必考点8 8 ：

　高度问题（已知仰角或俯角）

　例题8 ：

　(2019·山东青岛月考)如图所示，D，C，B 三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从 C，D 两点测得 A 点的仰角分别为 60°，30°，则 A 点离地面的高度 AB＝________.

　【解析】由已知得∠DAC＝30°，△ADC 为等腰三角形，AD＝ 3a，所以在 Rt△ADB 中，AB＝ 12 AD＝32a.

　变式8 ：

　(2019·河北衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 30°，塔底 C 与 A 的连线同河岸成 15°角，小王向前走了 1 200 m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60°角，则电视塔 CD 的高度为________m.

　【解析】在△ACM 中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°， 由正弦定理得AMsin∠MCA ＝ACsin∠AMC ，即1 20022＝ AC32，解得 AC＝600 6. 在△ACD 中，∵tan∠DAC＝ DCAC ＝33，∴DC＝600 6×33＝600 2.

　 的 求解高度问题的 3 个注意点 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．

　 必考点9 9 ：

　高度问题（已知方位角或方向角）

　例题9 ：

　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山高度CD＝______m.

　【解析】由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又 AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°＝300 2×33＝100 6(m)

　必考点 10 ：

　距离问题

　例题10：

　：

　(2019·山东临沂联考)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80， 3≈1.73)

　【解析】如图，过点 A 作 AD 垂直于 CB 的延长线，垂足为 D， 则在 Rt△ABD 中，∠ABD＝67°，AD＝46，AB＝46sin 67°. 在△ABC 中，根据正弦定理得 BC＝ ABsin 37°sin 30°＝46×sin 37°sin 67°sin 30°≈60

　 变式9 ：

　如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角α，再分别测出 AC，BC 的长 b，a，则可求出 A，B 两点间的距离，即 AB＝ a 2 ＋b 2 －2abcos α.

　若测得 CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算 AB 的长． 【解析】在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2 ＝AC 2 ＋BC 2 －2AC·BCcos∠ACB， ∴AB 2 ＝400 2 ＋600 2 －2×400×600cos 60°＝280 000，∴AB＝200 7(m)， 即 A，B 两点间的距离为 200 7 m.

　求解距离问题的一般步骤 (1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题． (2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素． (3)使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答．

　必考点 11 ：

　角度问题

　例题11：

　：

　如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 n mile 的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos θ 的值为________.

　【解析】在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理得 BC 2 ＝AB 2 ＋AC 2 －2AB·AC·cos 120°＝2 800，得 BC＝20 7 由正弦定理，得ABsin∠ACB ＝BCsin∠BAC ，即 sin∠ACB＝ABBC ·sin∠BAC＝217 由∠BAC＝120°，知∠ACB 为锐角，则 cos∠ACB＝ 2 77.由 θ＝∠ACB＋30° 得 cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝2114

　 变式10：

　：

　(2019·山西大同联考)在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 30°，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h. 【解析】如图，

　∠AOB＝60°，由余弦定理知 OC 2 ＝20 2 ＋20 2 －800cos 120°＝1 200，故 OC＝20 3，∠COy＝30°＋30°＝60°. ]

　解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义． (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．

　变式11：

　：

　(2019·河南安阳调研)如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 处( 3－1)n mile 的 B 处有一艘走私船．在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 n mile 的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．

　【解析】设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则 CD＝ 10 3t n mile，BD＝10t n mile，△ABC 中，由余弦定理，BC 2 ＝AB 2 ＋AC 2 －2AB·AC·cosA＝( 3－1) 2 ＋2 2 －2( 3－1)×2×cos120°＝6， 解得 BC＝ 6. 又∵BCsinA ＝ACsin∠ABC ，∴sin∠ABC＝AC·sinABC＝ 2×sin120°6＝22， ∴∠ABC＝45°，故 B 点在 C 点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得BDsin∠BCD ＝CDsin∠CBD ，∴sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝ 10t·sin120°10 3t＝ 12 . ∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东 60°的方向行驶． 在△BCD 中，∠CBD＝ 120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即 10t＝ 6，t＝610 小时≈15 分钟 ∴缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟．

　 更多微信扫上方二维码码获取