自考本科《概率论与数理统计》2012年10月真题,讲解,答案汇总

时间：2020-09-25 22:55:08 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　高等教育自学考试辅导 《概率论与数理统计（经管类）》

　2012 年 10 月真题讲解 一、前言 学员朋友们，你们好！现在，对《全国 2012 年 10 月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）

　试题》进行必要的分析，并详细解答，供学员朋友们学习和应试参考。

　三点建议：一是在听取本次串讲前，请对课本内容进行一次较全面的复习，以便取得最佳的听课效果； 二是在听取本次串讲前，务必将本套试题独立地做一遍，以便了解试题考察的知识点，与以及个人对课程 全部内容的掌握情况，有重点的听取本次串讲；三是，在听取串讲的过程中，对重点、难点的题目，应该 反复多听几遍，探求解题规律，提高解题能力。

　一点说明：本次串讲所使用的课本是 2006 年 8 月第一版。

　二、考点分析 1. 总体印象 对本套试题的总体印象是：

　内容比较常规，有的题目比较新鲜，个别题目难度稍大 。内容比较常规：

　① 概率分数偏高，共 74 分；统计分数只占 26 分，与今年 7 月的考题基本相同，以往考题的分数分布情况 稍有不同；②除《回归分析》仅占 2 分外，对课本中其他各章内容都有涉及；③几乎每道题都可以在课本 上找到出处。如果粗略的把题目难度划分为易、中、难三个等级，本套试题容易的题目约占 24 分，中等题 目约占 60 分，稍偏难题目约占 16 分，包括计算量比较大额题目。

　2. 考点分布 按照以往的分类方法：事件与概率约 18 分，一维随机变量（包括数字特征）约 22 分，二维随机变量 （包括数字特征）约 30 分，大数定律 4 分，统计量及其分布 6 分，参数估计 6 分，假设检验 12 分，回归 分析 2 分。考点分布的柱状图如下 三、试题详解 选择题部分 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）

　在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂 黑。错涂、多涂或未涂均无分。

　1. 已知事件 A, B, AU B 的概率分别为 0.5 , 0.4 , 0.6 ，贝 U P

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　A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.5 [ 答疑编号 918150101] 【答案】

　B 【解析】因为 ，所以

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　 ，而 所以 ，即

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　又由集合的加法公式 P ( AB = P ( A + P ( B - P

　( A U B ) =0.5+0.4-0.6=0.3 所以 = 0.5 — 0.3 = 0.2 ，故选择 B.

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　［ 快解 ］ 用 Venn 图可以很快得到答案：

　【提示】

　1. 本题涉及集合的运算性质: ( i )交换律：

　A U B = B U AAB=BA ( ii )结合律：

　( A U B )U C = A U( B U C ) , ( AB C=A ( BO ; ( iii )分配律：

　( A U

　B )n C =

　( A n C )U( B n C ), ( A n B ) U

　C =

　( A U

　C ) Q ( B U

　C )； (iv )摩根律(对偶律)

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　2. 本题涉及互不相容事件的概念和性质：若事件 A 与 B 不能同时发生，称事件

　 3. 本题略难，如果考试时遇到本试题的情况，可先跳过此题，有剩余时间再考虑。可表示为 A d B = ，且 P ( A U B ) =P (A ) +P ( B ) A 与 B 互不相容或互斥,

　高等教育自学考试辅导 《概率论与数理统计(经管类)》 （X）

　 2. 设 F ( x ) 为随机变量 X 的分布函数，则有 A. F ( - g) =0 , F ( + 8) =0 B. F ( - g) =1 , F ( + ^) =0 C. F ( - g) =0 , F ( + 8) =1 D. F ( - g) =1 , F ( + 8) =1 [ 答疑编号 918150102] 【答案】

　C 【解析】根据分布函数的性质，选择 C o 【提示】分布函数的性质：

　① 0 < F ( X )W 1 ; ② 对任意 X 1 , X 2 ( X 1 <X 2 )，都有 P{ X 1 <X W X 2 }=F

　( X 2 ) -F ( X 1 ) ③ F ( X )是单调非减函数； ④ ， ⑤ F ( X )右连续； ⑥ 设 X 为 f ( x )的连续点，贝 U F ( X )存在，且 F ( X ) = f

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　 3. 设二维随机变量（ X ， Y ）服从区域 D: x 2 +y 2 wi 上的均匀分布，则（ X, Y ）的概率密度为 A. f ( x , y ) =1 B.

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　 c. f （ x , y ）

　= D. [ 答疑编号 918150103] 【答案】

　D 【解析】由课本 p68 ，定义 3 — 6: 设 D 为平面上的有界区域，其面积为 S 且 S >0. 如果二维随机变量（ X , Y ）

　的概率密度为 则称（ X,Y ）服从区域 D 上的均匀分布 . 本题 x 2 +y 2 W1 为圆心在原点、半径为 1 的圆，包括边界，属于有界区域，其面积 S= n, 故选择 D. 【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布：

　均匀分布和正态分布， 注意它们的定义。若（ X , Y ）

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　 服从二维正态分布，表示为（ X , Y ）

　4. 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则 E ( 2 X — 1 ) = A. 0 B.1 C.3 D.4 [ 答疑编号 918150104] 【答案】

　A 【解析】因为随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，即 入 =2 ,所以 ；又根据数学期望的性质有 E ( 2X-1 ) =2E ( X ) -1=1-1=0 , 故选择 A. 【提示】

　1. 常用的六种分布 （1 ）常用离散型随机变量的分布: X 0 1 概率 q p

　A. 两点分布

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　 ① 分布列 ② 数学期望：

　E （ X ）

　=P ③ 方差：

　D （ X）

　=pq 。

　B. 二项分布：

　X 〜 B （ n,p ）

　, k=0 , 1 , 2 ,…， n ; ②数学期望：

　E （ X ）

　=np ③方差：

　D ( X) =npq C. 泊松分布：

　X 〜 P （入）①分布列:

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　 ① 分布列：

　② 数学期望：

　E ( X ) = 入 ③ 方差：

　D (为=入 ( 2 )常用连续型随机变量的分布 A. 均匀分布：

　X 〜 U[a,b] ①密度函数:, k=0 , 1 , 2 ,

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　②分布函数:

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　 ③数学期望：

　E （ X ）= ④ 方差：

　D （ X）

　=

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　 B . 指数分布：

　X 〜 E （入）

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　①密度函数: ②分布函数:

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　 ③数学期望：

　E （ X ）= ④方差：

　D （ X）

　=

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　 C. 正态分布

　_

　2 ( A )正态分布：

　X 〜 N (卩 , (T ) ① 密度函数: ② 分布函数：

　③ 数学期望：

　E ( X )=y ， ④ 方差：

　D ( X )=c—8 <X< +m

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　 ⑤ 标准化代换：若 X 〜 N (卩 , d 2 ), ( B )标准正态分布：

　X 〜 N ( 0,1 ) ① 密度函数:,贝 U 丫〜 N( 0,1 ) . —8 <X< +m

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　② 分布函数：

　③ 数学期望：

　E ( X )= 0, ④ 方差：

　D ( X) = 1. 2. 数学期望的性质 ① E ( c ) =c , c 为常数； ② E ( aX ) =aE ( X ), a 为常数； ③ E ( X+b ) =E ( X ) +b , b 为常数； ④ E ( aX+b ) =aE ( X ) +b , a , b 为常数。

　5. 设二维随机变量( X , Y )的分布律 —8 <X< +m

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　 则 D ( 3 X ) = A. B.2 C.4 D.6 [ 答疑编号 918150105] 【答案】

　B 【解析】由已知的分布律， X 的边缘分布律为 X 1 2 p2/3 1/3

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　 根据方差的性质有 D( 3 X ) =9 D(X ) =2 ,故选择 B.【提示】（ 1 ）离散型随机变量的方差：定义式 计算式：

　D （ X ）

　=E （ X ）

　2 -[E （ X ）

　] 2

　（ 2 ）方差的性质 ① D （ c=0 ）， c 为常数； ② D （ aX ）

　=a 2 D （ X ）， a 为常数； ③ D （ X ）

　+b ）

　=D （ X ）， b 为常数； ④ D （ aX+b ）

　=a 2 D （ X ）， a ， b 为常数。

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　 6. 设 X 1 , %,•••, Xr „„为相互独立同分布的随机变量序列，且 E （ X 1 ）

　=0 ， D（X i ）

　=1 ,则 A.0 B.0.25 C.0.5 D.1 [ 答疑编号 918150106] 【答案】

　C 【解析】不等式 等价于不等式

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　由独立同分布序列的中心极限定理， 代入卩 =0 ,6 =1 , 则

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　 故选择 C. 【提示】独立同分布序列的中心极限定理：(课本 P120, 定理 5 - 4 ): 设 X I ,

　X 2 ,…， X n ,…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差 2 = b ( i = 1 , 2 ，…) . 记随机变量 E ( X ) = 卩， D(X )

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　 的分布函数为 F n ( x ),则对于任意实数 x ，有

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　 其中 0（ X ）为标准正态分布的分布函数。

　应用：不论 X , X 2 ，…， X n ,…服从什么分布，当 n 充分大时，（ 1 ）

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　近似服从正态分布；（ 2 ）

　近似服从正态分布

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　 ，其中 ，（X ）

　= 6 2

　（ i = 1 , 2 ，…）。

　（ 2 ）对于大数定律与中心极限定理，除了清楚条件和结论外，更重要的是理解它们所回答的问题，以 及在实际中的应用。（课本 P118 ,看书讲解）

　7. 设 X 1 ,X 2 ，…， X n 为来自总体2 ）的样本，卩 ，6 2是未知参数，则下列样本函数为统计量的 是

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　 A.

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　B. C.

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　 D. [ 答疑编号 918150107] 【答案】

　D 【解析】根据统计量定义，选择 D 。

　【提示】课本 p132 ，定义 6 - 1 :设 X i ,X 2 , … ,x n 为取自某总体的样本，若样本函数 T=T （ X 1 ,X 2 , … ,x n ）

　中包含任何未知参数，则称 T 为统计量 . 8. 对总体参数进行区间估计，则下列结论正确的是 A. 置信度越大，置信区间越长 B. 置信度越大，置信区间越短 C. 置信度越小，置信区间越长 D. 置信度大小与置信区间长度无关 [ 答疑编号 918150108] 【答案】

　D 【解析】选项 A B, C 不正确，只能选择 B 【提示】置信区间长度的增大或减小不仅与置信度有关，还与样本容量有关，其中的规律是：

　在样本容量固定的情况下，置信度增大，置信区间长度增大，区间估计的精度降低；置信度减小，置 信区间长度减小，区间估计的精度提高。

　9. 在假设检验中， H 0 为原假设， H 为备择假设，则第一类错误是 A. H 成立，拒绝 H ）

　B.H ）

　成立，拒绝 H C. H 成立，拒绝 H D. H ）

　成立，拒绝 H 【答案】

　B 【解析】假设检验中可能犯的错误为：第一类错误，也称“拒真错误”；第二类错误，也称“取伪错 误”。无论“拒真”还是“取伪”，均是针对原假设而言的。故选择 B o 【提示】（ 1 ）假设检验全称为“显著性水平为 a 的显著性检验”，其显著性水平 a 为犯第一类错误 的概率；而对于犯第二类错误的概率 3 没有给出求法； （ 2 ）当样本容量固定时，减小犯第一类错误的概率 a, 就会增大犯第二类错误的概率 3； 如果同时 减小犯两类错误的概率，只有增加样本容量。

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　 且各 S i 相互独立 • 依据样本

　 ( X i ,yj ( i=1,2, … ,n )得到一元线性回归方程10. 设一元线性回归模型: ,由此得 X i

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　，则回归平方和 S 回 为对应的回归值为 ， y i 的平均值

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　B. A.

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　C. D. [ 答疑编号 918150109] 【答案】

　C 【解析】根据回归平方和的定义，选择 C 。

　【提示】

　1. 根据回归方程的的求法，任何一组样本观察值都可以得到一个回归方程； 2. 在回归方程的显著性检验的 F 检验法（课本 p188 ）中，要检验所求回归方程是否有意义，必须分析 y 随 X i 变化而产生的偏离回归直线的波动的原因。为此，选择了一个不变值—— y i 的平均值

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　 为基准，总偏差为 此式称为平方和分解式。可知， S 回 反映了观察值 y i 受到随机因素影响而产生的波动, y i 偏离回归直线的程度。所以，若回归方程有意义，则 S 回 尽可能大， S 剩 尽可能小。S 回 反映了观察值

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　 非选择题部分 二、填空题(本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分) 11. 设甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲、乙击中目标的概率分别为 0.8 ， 0.5 ，则甲、乙两人同时 击中目标的概率为

　____________________ . [ 答疑编号 918150101] 【答案】

　0.4 【解析】设 A, B 分别表示甲、乙两人击中目标的两事件，已知 A , B 相互独立，则 P ( AB =P ( A ) P ( B ) =0.8 X 0.5 = 0.4 故填写 04 【提示】二事件的关系

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　 (1) 包含关系：如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则事件 B 包含事件 A ,记做

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　;对任何事件 C, 都有 ，且 O W P ( C )W 1 ;

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　 (2) 相等关系：若 ，则事件 A 与 B 相等，记做 A = B, 且 P ( A ) =P ( B ); (3)

　互不相容关系：若事件 A 与 B 不能同时发生，称事件 A 与 B 互不相容或互斥，可表示为 A H B= ^, 且 P ( AB ) =0 ; (4)

　对立事件：称事件 “A 不发生”为事件 A 的对立事件或逆事件，记做

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　显然：① （5 ）二事件的相互独立性：若 P （ AB ）

　=P （ A ）

　P （ B ）

　, 则称事件 A, B 相互独立;

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　 性质 1 四对事件 A B, 其一相互独立，则其余三对也相互独立; 、 A ， A 、

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　 性质 2 :若 A, B 相互独立，且 P （ A ）

　>0, 则 P （ B|A ）

　=P （ B ）

　.

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　 12. 设 A B 为两事件，且 P( A ) =P ( B ) =

　， p ( HB )

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　 ，则 p

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　 ( | ) [ 答疑编号 918150202]

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　【答案】

　【解析】

　，由 1 题提示有

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　 所以

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　 所以

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　 故填写 【提示】条件概率：事件 B（ P （ B ）

　＞0 ）发生的条件下事件 乘法公式 P （ AB =P （ B ）

　P （ A|B ）。A 发生的概率

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　13. 已知事件 A, B 满足 P ( AB = P ( (A ) =0.2 ，贝 U P ( B ），若 P [ 答疑编号 918150203]

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　 【答案】

　0.8 【解析】

　所以 P （ B ）

　=1-P （ A ）

　=1-0.2=0.8 ，故填写 0.8.

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　 【提示】本题给出一个结论：若

　，则有

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　 X 1 2 3 4 5

　P 2 a 0.1 0.3 a 0.3 14. 设随机变量 X 的分布律则 a = _______________ . [ 答疑编号 918150204] 【答案】

　0.1 【解析】

　2a+0.1+0.3+a+0.3=1 ， 3a=1-0.7=0.3 ， 所以 a=0.1 ，故填写 0.1. 【提示】离散型随机变量分布律的性质：

　设离散型随机变量 X 的分布律为 P{X=X k }=p k , k = 1 , 2 , 3 ,…, ( 1 ) P k 》 0 , k = 1 , 2 , 3 ,…；

　(2) ( 3 ) .

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　 15. 设随机变量 X 〜 N( 1 , F), 贝 U P {- K X W 3}= __________________ . (附：◎( 【答案】

　0.6826 [ 答疑编号 918150205] 【解析】

　=^( 1 ) - ◎( -1 ) =2 ©( 1 ) -1=2 X 0.8413 -1=0.6826 【提示】注意：正态分布标准化代换1 ) =0.8413 ) 为必考内容 .

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　 16. 设随机变量 X 服从区间 ［2 ， 0 ］ 上的均匀分布，且概率密度 f ( x ) 则 0 = _____________ . ［ 答疑编号 918150206］ 【答案】

　6 【解析】根据均匀分布的定义， 0 -2=4 ,所以 0 =6 ,故填写 6.

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　 17. 设二维随机变量（ X, Y ）的分布律

　0 1 2 0 0.1 0.15 0 1 0.25 0.2 0.1 2

　0.1 0 0.1

　则 P{ X = Y }= ___________ . [ 答疑编号 918150207] 【答案】

　0.4 【解析】

　P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=0.1+0.2+0.1=0.4 故填写 04

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　 18. 设二维随机变量( X, Y )〜 N(0 , 0 , 1 , 4 , 0 ),贝 U X 的概率密度 fx ( x ) = __________________________

　[ 答疑编号 918150208] 【答案】

　要条件是 X 与 Y 相互独立，则有 f (x,y ) =f x ( x ) f y ( y ); 又已知( X,Y ) 〜 N ( 0,0,1,4,0 )，所以 X 〜 N ( 0,1 ), 丫〜 N ( 0,4 )。

　【解析】根据二维正态分布的定义及已知条件，相关系数 p=0 ,即 X 与 Y 不相关，而 X 与 Y 不相关的充

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　因此, 故填写

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　 【提示】本题根据课本 p76 ,【例 3 - 18 】改编 . 19. 设随机变量 X 〜 U ( -1 , 3 )，贝 U D ( 2 X- 3 ) = ____________

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　 [ 答疑编号 918150209]

　 【答案】

　【解析】因为 X 〜 U( -1 , 3 ),所以 ，根据方差的性质

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　故填写 【提示】见 5 题【提示】。

　 20. 设二维随机变量( X, Y )的分布律

　-1 1 -1 0.25 0.25 1

　0.25 0.25

　则 E ( 乂+ Y 2 ) = ____________ . [ 答疑编号 918150210] 【答案】

　2 2 2 2 2 2 2 2 2 【解析】= [ ( -1 ) + ( -1 ) ] X 0.25+[ ( -1 ) +1 ] X 0.25+[1 + ( -1 ) ] X 0.25+ ( 1 +1 ) X 0.25=2 故填写 2. 【提示】二维随机变量函数的期望(课本 p92 ，定理 4 — 4 ):设 g ( XY )为连续函数，对于二维随机

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　 变量( X Y )的函数 g ( X , Y ),（1 ）若（ X Y ）为离散型随机变量，级数 （2 ）若（ XY ）为连续型随机变量，积分收敛，则 收敛，则

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　 21. 设 m 为 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数， p 为事件 A 的概率，则对任意正数 [ 答疑编号 918150211]

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　 【答案】

　1 【解析】根据贝努利大数定律得 【提示】

　1. 贝努利大数定律（课本 p118 ，定理 5 - 2 ）:设 m 为 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次 数， p 为事件 A 的概率，则对任意正数 & ，有 2. 认真理解贝努利大数定律的意义 .= 1 ,故填写 1.

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　 22. 设 X 1 ， X 2 ,…， X n 是来自总体 P （ 入 ）的样本, 本均值，则 D （ 是样

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　 [ 答疑编号 918150212]

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　【答案】

　【解析】已知总体 X 〜 P （入），所以 D（ X）= =入，由样本均值

　的抽样分布有

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　 的抽样分布：定理 6 - 1 （课本 p134 ）故填写 【提示】样本均值

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　 设 X I ， X 2 ,…， X n 是来自某个总体 X 的样本， 是样本均值, （1 ）若总体分布为 N （卩 , d 2 ），则 的精确分布为

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　(2 )若总体 X 分布未知(或不是正态分布)，但 E ( X ) = 卩， D( X )=异，则当样本容量n 充分大时，

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　 的近似分布为

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　23. 设 X i , X 2 ,…， X n 是来自总体 B ( 20 , p )的样本，则 p 的矩估计 [ 答疑编号 918150213]

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　 【答案】

　【解析】因为总体 X 〜 B ( 20,p )，所以 E ( X ) = 卩 =20p ，而矩估计 所以 p 的矩估计 ，故填写 【提示】点估计的常用方法 （ 1 ）

　矩法（数字特征法）：

　A. 基本思想：

　① 用样本矩作为总体矩的估计值； ② 用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计值。

　B. 估计方法：同 A 。

　（ 2 ）

　极大似然估计法

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　 A. 基本思想：把一次试验所出现的结果视为所有可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大 值作为估计值。

　B. 定义：设总体的概率函数为 p （ x; 0）,9€O ，其中 0 为未知参数或未知参数向量，

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　 本，函数 为 0 可能取值的空间, X 1 ,X 2 , … ,x n 是来自该总体的一个样 称为样本的似然函数；若某统计量

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　 C. 估计方法 ①利用偏导数求极大值 i ）对似然函数求对数 ii ）对 B 求偏导数并令其等于零, 满足 ，则称 为 0 的极大似然估计。

　得似然方程或方程组

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　 iii ）解方程或方程组得 即为 0 的极大似然估计。

　② 对于似然方程（组）无解时，利用定义：见教材 p150 例 7 - 10 ; 是 0 的极大似然估计，则 即为 g (0 )的极大似然估计。方法：用矩法或极大似然估

　 ③理论根据：若

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　计方法得到 g (0) 的估计，求出

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　 24. ______________________________________ 设总体服从正态分布 N （口， 1 ）,从中抽取容量为16 的样本， u a 是标准正态分布的上侧 则 口 的置信度为 0.96 的置信区间长度是

　. [ 答疑编号 918150214] a 分位数,

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　 【答案】

　【解析】

　1- a =0.96 ， a =0.04 ，所以 口的置信度为 0.96 的置信区间长度是

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　故填写 【提示】

　1. 本题类型（单正态总体，方差已知，期望的估计）的置信区间为 。

　2. 记忆课本 p162 ，表 7 - 1 ,正态总体参数估计的区间估计表。

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　 25. 设总体 X 〜 N（ 口 ，c 2 ）,且 /未知， x i , X 2 ,…， x n 为来自总体的样本, 和 本均值和样本方差，则检验假设 H 0 : [1 =

　口 o ；

　H : 口 工 （ 1 o 采用的统计量表达式为 [ 答疑编号 918150215] 【答案】

　分别是样

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　 【解析】

　【提示】

　1. 本题类型（单正态总体，方差未知，对均值的假设检验）使用 O 2. 记忆课本 p181 ，表 8 - 4 ,各种假设检验（检验水平为 a ）表。

　三、计算题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）

　26. 一批零件由两台车床同时加工，第一台车床加工的零件数比第二台多一倍 • 第一台车床出现不合格 品的概率是 0.03 ，第二台出现不合格品的概率是 0.06. （ 1 ）

　求任取一个零件是合格品的概率； （ 2 ）

　如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率 [ 答疑编号 918150301] t 检验，统计量为

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　 【分析】本题考查全概公式和贝叶斯公式。

　【解析】设 A 、 A 分别表示“第一、第二台车床加工的零件”的事件， B 表示“合格品”， 由已知有

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　 (1 )根据条件概率的意义，有

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　所以 P ( B ) =P ( A i ) P ( B|A i ) +P ( A P ( B|A 2 )=

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　 ( 2 ) 。

　【提示】全概公式和贝叶斯公式：

　( 1 )全概公式：如果事件 A l ,A 2 , … ,A n 满足 ① A l ,A 2 , … ,A n 互不相容且 P ( A ) >0 ( 1,2, … ,n );笑 A i UA 2 U … UA n = Q, 则对于 Q 内的任意事件 B ,都有 (2) 贝叶斯公式：条件同 A ,则 ， 1=1,2, … ,n 。

　(3)

　上述事件 A l ,A 2 , … ,A n 构成空间 Q 的一个划分，在具体题目中，“划分”可能需要根据题目的实 际意义来选择。

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　 27. 已知二维随机变量（ X, Y ）的分布律

　-1 0 1 0 0.3 0.2 0.1 1 0.1 0.3 0

　 求：（ 1 ）

　X 和 Y 的分布律；（ 2 ）

　Cov （ X ， Y ）

　. [ 答疑编号 918150302] 【分析】本题考查离散型二维随机变量的边缘分布及协方差。

　【解析】（ 1 ）根据二维随机变量（ X,Y ）的联合分布律，有 X 的边缘分布律为 X 0 1 P 0.6 0.4

　Y 的边缘分布律为

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　 Y - 1 0 1 P 0.4 0.5 0.1

　( 2 )由( 1 )有 E ( X ) =0 X 0.6+1 X 0.4=0.4 , E ( Y ) = ( -1 )X 0.4+0 X 0.5+1 X 0.1= -0.3 +1 X( -1 ) X 0.1+1 X 0 X 0.3+1 X 1 X 0= -0.1 所以 cov ( X,Y ) =E ( XY ) -E ( X ) E ( Y ) =-0.1- 0.4 X ( -0.3 ) =0.02 。

　【提示】协方差：

　A)

　定义：称 E ( X-E ( X ))( Y=E ( Y ))为随机变量 X 与 Y 的协方差。记做 Cov ( X,Y ) . B) 协方差的计算 ① 离散型二维随机变量:

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　 ② 连续性二维随机变量：

　； ③ 协方差计算公式：

　cov ( X,Y ) =E ( XY ) -E ( X )( Y ); ④ 特例：

　cov ( X,Y ) =D( X ) . C) 协方差的性质：

　① Cov ( X,Y )= Cov ( Y,X ); ② Cov ( aX,bY ) = abCov ( X,Y )，其中 a , b 为任意常数； ③ Cov ( X+X 2 ,Y )= Cov ( X i ,Y )+ Cov ( X 2 ,Y ); ④ 若 X 与 Y 相互独立， Cov ( X,Y )= 0 ,协方差为零只是随机变量相互独立的必要条件，而不是充分必 要条件；

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　 四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分）

　28. 某次抽样结果表明，考生的数学成绩（百分制）近似地服从正态分布 N（ 75 , （T 2 ），已知 85 分以 上的考生数占考生总数的 5% 试求考生成绩在 65 分至 85 分之间的概率 . [ 答疑编号 918150303] 【分析】本题计算过程可按服从正态分布进行。

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　 【解析】设考生的数学成绩为随机变量 X ,已知 X 〜 N （ 75, d 2 ）,且

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　其中 z 〜 NO , I ］ 。

　所以

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　 — 0 因此，考生成绩在 65 分至 85 分之间的概率约为 0.9. 29. 设随机变量 X 服从区间 ［0 , 1］ 上的均匀分布， Y 服从参数为 1 的指数分布，且 X 与 Y 相互独立 • 求：

　(1 ) X 及丫的概率密度；( 2 )( X, Y )的概率密度；( 3 ) P { X > Y }.

　［ 答疑编号 918150304］ 【分析】本题考查两种分布，相互独立的随机变量的性质及二维随机变量概率的计算。

　【解析】由已知 X 〜 5,1］ , 丫〜 E ( 1 ), ( 1 ) X 的概率密度函数为

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　 Y 的概率密度函数为

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　 (2 )因为 X 与 Y 相互独立，所以 f ( x,y ) =f ( x ) f ( y ),则 (3 )积分区域 D 如图所示，则有

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　D:

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　 【提示】

　1. 1. 随机变量 X Y 相互独立 2. 二重积分化二次积分的方法。

　3. 定积分的第一换元法。

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　 五、应用题（ 10 分）

　30. 某种产品用自动包装机包装，每袋重量 X 〜 N（ 500 , 2 2 ）（单位：

　g ）,生产过程中包装机工作是否 正常要进行随机检验 • 某天开工后抽取了 9 袋产品，测得样本均值

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　 =502g. 问：当方差不变时，这天包装机工作是否正常 (a =0.05 ) ? (附: U 0.025 = 1.96 ) [ 答疑编号 918150305] 【分析】本题考查单正态总体、方差已知、均值的假设检验。

　【解析】设假设检验的假设 H ) :卩 = 卩 0 =500 ;卅：卩工卩 0 =500 , 已知 X 〜 N ( 500,2 2 ),所以选择适合本题的统计量一一 u 统计量

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　 由检验水平 a =0.05 ，本题是双侧检验，所以查表得临界值

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　从而得到拒绝域 根据样本得到统计量的样本观察值

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　 因为 ，所以拒绝即可以认为这台包装机的工作不正 常。

　【提示】假设检验的基本步骤 1. 提出统计假设：根据理论或经验对所要检验的量作出原假设 （零假设）

　H 和备择假设 Hi ,要求只有其 一为真。

　如对总体均值 卩检验，原假设为 H ）

　:卩 = 卩 o ,备择假设为下列三种情况之一：

　H ：

　，其中 i ）为双侧检验， ii ）, iii ）为单侧检验。

　2. 选择适当的检验统计量，满足：① 必须与假设检验中待检验的“量”有关；② 在原假设成立的条 件下，统计量的分布或渐近分布已知。

　3. 求拒绝域：按问题的要求，根据给定显著水平 a 查表确定对应于 a 的临界值，从而得到对原假设 H 0 的拒绝域 W 4. 求统计量的样本值并决策：根据样本值计算统计量的值，若该值落入拒绝域 w 内，则拒绝 H）

　，接受 H ，否则，接受 H 。

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　 四、简要总结 1. 关于本套试题 （ 1 ）

　整套考题（共 30 题）所有题目几乎均可在课本上找到其原型 （ 2 ）

　两种考查内容 所有的考试，包括中考、高考及考研，试题不外乎考查个内容：知识和能力。考查知识 其实就是考查对课本内容的理解和记忆，这类题目一般难度不大，而考查能力的题目的难度 就比较大了。本套试题知识型题目约占 80 分左右，考查能力的部分约占 20 分左右，包括分 析能力，推演能力和计算能力，所以，本套试题属于难度稍大的类型。

　2. 关于复习的建议 （ 1 ）

　认真看书，全面复习 （ 2 ）

　加深理解，强化记忆 3. 关于选作习题 （ 1 ）

　重视例题和习题 （ 2 ）

　正确选作课外题 4. 关于答卷的方法 本套试题题目排列不是“从简到难”，比如，第一题就比较难，遇到这种情况，建议考生可跳过难题。

　只要把其它题目正确完成，就可以得到比较理想的分数。

　以上仅供学员朋友们参考。

　祝学员朋友们学习进步，在考试中取得理想的成绩！