2021年高考物理模拟题精练专题5.10,天体运行观测（解析版）

时间：2021-01-19 20:11:47 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

相关热词搜索：年高 精练 天体

　 2021 年高考物理 100 考点最新模拟题千题精练 第五部分

　万有引力定律和航天 题 专题 5.10 天体运行的观测 一．选择题 1． ． （2020高考精优预测卷）地球表面上两极的重力加速度约为29.83m/s ,而赤道上的重力加速度约为29.78m/s ,即赤道上的重力加速度 比两极的重力加速度小约1200，赤道上有一观察者，日落后，他用天文望远镜观察被太阳光照射的地球同步卫 星，他在一天的时间内看不到此卫星的时间为 t，若将地球看成球体，且地球的质量分布均匀，半径约为36.4 10 km  ,取31200 6,sin106   ，则通过以上数据估算可得（

　 ）

　A.同步卫星的高度约为33.2 10 km 

　B.同步卫星的高度约为53.2 10 km 

　C.看不到同步卫星的时间与看得到卫星的时间之比约为 1 : 17 D.看不到同步卫星的时间与看得到卫星的时间之比约为 2 : 17

　【参考答案】C 【名师解析】：赤道上的重力加速度比两极的重力加速度小约1200,即万有引力的1200提供赤道上的物体做圆周运动所需的向心力，即221 " 2π"200GMmm RR T    ，对于同步卫星有222π( )( )GMmm R hR h T    ，解得45 3.2 10 km h R    ,选项 AB 错误;如图所示，日落后观察不到地球同步卫星对应的角度为,sin2RR h ，解得 20    ,因此看不到同步卫星的时间与看得到卫星的时间之比约为11360 17tt ，选项 C 正确,D 错误。

　2.（2020 成都调研）太空垃圾是围绕地球轨道的有害人造物体，如图所示是漂浮在地球附近的太空垃圾示

　 意图，对此有如下说法，正确的是 (

　)

　A. 太空垃圾一定能跟同一轨道上同向飞行的航天器相撞 B. 离地越低的太空垃圾运行角速度越小 C. 离地越高的太空垃圾运行加速度越小 D. 离地越高的太空垃圾运行速率越大 【参考答案】C 【名师解析】

　根据万有引力提供向心力，22 222π( )Mm vG m m r m rr r T   

　得线速度GMvr ，角速度，周期32πrTGM，向心加速度2GMar

　根据线速度公式GMvr ，在同一轨道上的航天器与太空垃圾线速度相同，如果它们绕地球飞行的运转方向相同，它们不会碰撞，故 A 错误；根据角速度公式3GMr  可知，离地越低的太空垃圾运行角速度越大，故 B 错误；根据向心加速度2GMar 可知，离地越高的太空垃圾运行加速度越小，故 C 正确；根据线速度公式GMvr 可知，离地越高的太空垃圾运行速率越小，故 D 错误。

　3. （2020 河北石家庄期末调研）2019 年 2 月 15 日，一群中国学生拍摄的地月同框照，被外媒评价为迄今为止最好的地月合影之一。如图所示，把地球和月球看做绕同一圆心做匀速圆周运动的双星系统，质量分别为 M、m，相距为 L，周期为 T，若有间距也为 L 的双星 P、Q，P、Q 的质量分别为 2M、2m，则（

　）

　A. 地、月运动的轨道半径之比为

　B. 地、月运动的加速度之比为 C. P 运动的速率与地球的相等

　 D. P、Q 运动的周期均为

　【参考答案】D 【名师解析】对于地、月系统，两者具有相同的角速度和周期，万有引力提供向心力， = ，地、月运动的轨道半径之比为 r M ：r m =m：M，故 A 错误。地、月运动的加速度 a M ：a N =m：M，故 B 错误。

　同理，P、Q 系统，万有引力提供向心力， =2m ，P、Q 系统的轨道半径之比 r P ：r Q =m：M，运行周期 T"= ，地、月系统运行周期 T= ，联立解得，T"= ，故 D 正确。

　地球的运动速率 v= ，其中 L=r M +r m ，P 运动速率 v"= ，其中 L=r P +r Q ，联立解得 v"= T，故 C 错误。【关键点拨】双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度和周期。

　对两颗星分别运用牛顿第二定律和万有引力定律列式，进行求解即可。

　解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度。以及会用万有引力提供向心力进行求解。

　4. （2019 广东省广州市下学期一模）位于贵州的“中国天眼”（FAST）是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜，通过 FAST 可以测量地球与木星之间的距离。当 FAST 接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的 k 倍。若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为 A．4321 ) ( k  年

　B．232 )1 ( k  年

　 C．231 ) ( k  年

　D．23k 年

　【参考答案】A 【命题意图】本题以目前世界上口径最大的单天线射电望远镜“中国天眼”（FAST）为情景，考查天体运动、开普勒定律及其相关知识点。

　【解题思路】设地球与太阳距离为 r，根据题述可知木星与太阳的距离为 R=2 2( ) r r kr   =r（1+k 2 ）12，设木星的公转周期为 T 年，根据开普勒定律，则有：221T= 33 2231+ r kr，解得 T=4321 ) ( k  年，选项 A正确。

　【易错警示】解答此题常见错误主要有：不能根据题述信息得出木星与太阳的距离，导致思维受阻。

　5． ．（2019 吉林长春四模）（6 分）2019 年北京时间 4 月 10 日 21 点整，全球六地（比利时布鲁塞尔、智利圣地亚哥中国上海和台北、日本东京和美国华盛顿）同步召开全球新闻发布会。“事件视界望远镜”（ Event Horizon Telescope）发布了位于巨椭圆星系 M87 中心的黑洞照片。此次发布的黑洞图象揭示了女座星系团中超大质量星系 M87 中心的黑洞，引起了全球对黑洞的关注。若宇宙中有一半径约 45km 的黑洞，其质量 M 和半径 R 的关系满足 2GM＝c 2 R（其中 G 为引力常量；c 为光速，大小为 3×10 8 m/s），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（

　）

　A．10 8 m/s 2

　B．10 10 m/s 2

　 C．10 12 m/s 2

　D．10 14 m/s 2

　【参考答案】C 【命题意图】以万有引力定律为命题背景，考查学生推理能力。

　【解题思路】由 mg=2GMmR和 2GM＝c 2 R 联立解得 g=2 161239 10102 2 45 10cR  2 2m s m s ，选项 C 正确。

　6. （2018 福建质检）

　）位于贵州的“中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜（FAST）。通过 FAST测得水星与太阳的视角为 θ（水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角），如图所示。若最大视角的正弦值为 k，地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则水星的公转周期为 A．3 2k 年

　B．31k 年 C．3k 年

　 D．32( )1kk  年

　【答案】

　C 【考查内容】本题以利用“中国天眼”观察水星为载体，主要考查万有引力定律及其应用。侧重考查推理能力，要求考生理解视角的定义，运用天体运动规律结合三角函数推理解决实际问题。体现运动观念、科学推理、STSE 等物理核心素养的考查，彰显中国正能量，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感。

　θ 水星 FAST 太阳

　 【试题分析】本题应先理解最大视角的定义，即此时观察者与水星的连线应与水星轨迹相切，由三角函数可得 sinθ= r水r地 ，结合题中已知条件 sinθ=k，由万有引力提供向心力 GmMr2= 4π2mrT2，联立可以解得 C 正确；也可结合开普勒第三定理求解。若在运算过程中出错，可能错选 A 或 B，若把最大视角错认为水星与太阳的连线垂直于观察者与太阳的连线时的视角，会错选 D。本题的解题关键是正确理解最大视角的定义，运用天体运动规律结合三角函数进行推理。

　7 ．（2017 广西五市考前冲刺）金星和地球在同一平面内绕太阳公转，且公转轨道均视为圆形，如图所示，在地球上观测，发现金星与太阳可呈现的视角（太阳与金星均视为质点，它们与眼睛连线的夹角）有最大值，最大视角的正弦值为 n，则金星的公转周期为

　A．322(1 ) n  年

　 B．324(1 ) n 

　年

　 C．3n 年

　D．3n年 【参考答案】．D

　 【命题意图】

　本题考查开普勒定律及其相关的知识点。

　【名师解析】设金星轨道半径为 r，地球轨道半径为 R，金星与太阳可呈现的视角最大时，最大视角的正弦值 n=r/R，金星的公转周期为 T 年，根据开普勒定律，T 2 = r 3 /R 3 ，解得 T=3n 年，选项 D 正确。

　 8 ．(2016· 河北百校联考)嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成。探测器预计在 2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约 2 kg 月球样品。某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比为(

　) 月球半径 R 0

　月球表面处的重力加速度 g 0

　地球和月球的半径之比 RR 0 ＝4

　 地球表面和月球表面的重力加速度之比 gg 0 ＝6 A. 23

　B. 32

　C．4

　 D．6 【参考答案】B 【名师解析】

　利用题给信息，对地球，有 G MmR 2＝mg，得 M＝ gR2G，又 V＝ 43 πR3 ，得地球的密度 ρ＝ MV ＝3g4GπR ；对月球，有 G M 0 mR 2 0＝mg 0 ，得 M 0 ＝ g 0 R20G，又 V 0 ＝ 43 πR30 ，得月球的密度 ρ 0 ＝ M0V 0 ＝3g 04GπR 0 ，则地球的密度与月球的密度之比ρρ 0 ＝32 ，故 B 正确。

　9 ．（2015· 江苏）过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg

　b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg

　b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径为120，该中心恒星与太阳的质量比约为（

　）

　（A）．110

　（B）．1

　（C）．5

　（D）．10

　 【参考答案】B

　【名师解析】由 G2Mmr =mr22T     解得23Tr =24GM ，由此可得该中心恒星与太阳的质量比约为sMM =33srr 22sTT =3120    23654    =1，选项 B 正确。

　10 、（2016 ）

　洛阳联考）采用不同的方法来估算银河系的质量，会得出不同的结果。例如按照目侧估算，在离恨河系中心距离 R=3  10 9 R 0 的范围内聚集的质量 M=1.5  10 11 M 0 ，其中 R 0 是地球轨道半径，M 0 是太阳质量。假设银河系的质量聚集在中心，如果观测到离银河系中心距离 R 处的一颗恒星的周期为 T=3. 75  10 8 年，那么银河系中半径为 R 的球体内部未被发现的天体的质量约为(

　)

　 A、4.0  10 10

　M 0

　 B、1.9  10 11 M 0

　C、4.0  10 11 M 0

　 D、5.5  10 11

　M 0 【参考答案】.A 【名师解析】

　地球围绕太阳圆周运动，由万有引力定律，G020mMR =mR 0 (02T) 2 ，即 M 0 =2 30204 RGT ；恒星围绕银河系中心

　 运动，由万有引力定律，G2" mMR =mR(2T) 2 ，即 M’=2 324 RGT=  39283 103.75 10 2 30204 RGT=  39283 103.75 10 M 0 =1.92×10 11

　M 0 ，银河系中半径为 R 的球体内部未被发现的天体的质量约为 1.92×10 11

　M 0 -1.5×10 11

　M 0 =0.42×10 11

　M 0 。选项 A 正确。

　11. 最近美国宇航局公布了开普勒探测器最新发现的一个奇特的行星系统，命名为“开普勒-11 行星系统”，该系统拥有 6 颗由岩石和气体构成的行星围绕一颗叫做“kepler-11”的类太阳恒星运行。经观测，其中被称为“kepler-11b”的行星与“kepler-11”之间的距离是地日距离的N1，“kepler-11”的质量是太阳质量的 k 倍，则“kepler-11b”的公转周期和地球公转周期的比值是：（

　 ）

　A．1 3  k N

　B． k N3

　C．2123 k N

　D．2123k N

　【参考答案】.C 【名师解析】

　对于日地系统，由22 24 MmG m rr T 得2 34 rTGM ； 对于“开普勒-11 行星系统”， 由22 2" " 4""M mG m RR T ，R=r/N，M’=kM 得2 334"rTGkMN ； 所以3" 1 TT kN ，选项 C 正确。

　12. （2016·海南）通过观察冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是 A.卫星的速度和角速度

　 B.卫星的质量和轨道半径 C.卫星的质量和角速度

　 D.卫星的运行周期和轨道半径 【参考答案】.AD 【名师解析】

　卫星绕冥王星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由 G2Mmr=m2vr，G2Mmr=mrω 2 ，联立消去 r，可得

　 冥王星的质量 M=3vG ，选项 A 正确。由 G2Mmr=mr(2T) 2 ，解得 M=2 324 rGT，选项 D 正确。

　测出卫星的质量和轨道半径或测出卫星的质量和角速度，不能计算出冥王星的质量，选项 BC 错误。

　13 ．(2016 武汉汉阳一中模拟)据每日邮报 2014 年 4 月 18 日报道，美国国家航空航天局（NASA）目前宣布首次在太阳系外发现“类地”行星 Kepler-186f。假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为 T;宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近 h 处自由释放—个小球（引力视为恒力），落地时间为 t 1 ；宇航员在该行星“赤道”距该行星地面附近 h 处自由释放—个小球（引力视为恒力），落地时间为 t 2 。则行星的半径 R 的值

　 （

　 ）

　A．222122 21224) (t thT t tR

　 B．222122 21222) (t thT t tR

　C．222122 21222) (t thT t tR

　 D.222122 21224) (t thT t tR

　【参考答案】C 【名师解析】宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近 h 处自由释放—个小球（引力视为恒力），落地时间为 t 1 ，由 h=12gt 1 2 ，GM=gR 2 ，解得 GM=2212hRt；宇航员在该行星“赤道”距该行星地面附近 h 处自由释放—个小球（引力视为恒力），落地时间为 t 2 ，由 h=12gt 2 2 ，GMm/R 2 -mg=mR22T    ，解得 GM=2222hRt+ R 322T    ；联立解得：222122 21222) (t thT t tR ，选项 C 正确。

　14．(2016·河北邯郸市高三一调)已知某半径为 r 0 的质量分布均匀的天体，测得它的一个卫星的圆轨道的半径为 r，卫星运行的周期为 T。假设在该天体表面沿竖直方向以初速度 v 0 向上抛出一个物体，不计阻力，求它可以到达的最大高度 h 是(

　) A. v20 T2 （r－r0 ）24π 2 r 3

　B. v20 T2 （r－r0 ）28π 2 r 3 C. v20 T2 r 204π 2 r 3

　 D. v20 T2 r 208π 2 r 3

　【参考答案】D 【名师解析】

　由万有引力提供向心力得：

　GMmr 2＝ m·4π2 rT 2， GMmr 2 0＝mg′，所以 g′＝ 4π2 r 3T 2 r 2 0，在该天体表面沿竖直方向以

　 初速度 v 0 向上抛出一个物体，不计阻力，物体上升的过程中的机械能守恒，mg′h＝ 12 mv20 ，它可以到达的最大高度 h＝ v20 T2 r 208π 2 r 3 ，D 正确。

　15 （2016 湖南十三校联考）为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期 T，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧称称量一个质量为 m 的砝码读数为 N。已知引力常量为 G。则下列计算中错误的是：

　A．该行星的质量为3 44 316 mT N

　 B．该行星的半径为mNT2 24 

　C．该行星的密度为23GT

　D．在该行星的第一宇宙速度为mNT 2 【参考答案】B 【命题立意】本题旨在考查万有引力作用与卫星的圆周运动 【名师解析】用弹簧称称量一个质量为 m 的砝码读数为 N ，

　, 登陆舱在该行星表面做圆周运动的 周 期 T ， , , 解 上 二 式 得 ，

　 ,

　 ; 行 星 的 密 度

　; 该行星的第一宇宙速度为

　【举一反三】在这颗行星表面以 v 上抛一物体，经多长时间落地？ 16、2017 年 6 月,我国首颗大型 X 射线天文卫星——硬 X 射线调制望远镜卫星在酒泉成功发射。该卫星绕地球的运动和地球绕太阳的运动都可看成是匀速圆周运动,若已知该卫星绕地球运动的轨道半径是地球绕太阳运动的轨道半径的1k,地球的质量是太阳质量的1n,则在相等的时间内,该卫星与地球的连线扫过的面积和地球与太阳的连线扫过的面积的比值是(

　 ) A.1nk

　B. nk

　 C.nk

　D.kn 【参考答案】：A

　 【名师解析】由22Mm vG mr r 及绕行天体与中心天体连线扫过的面积12S rvt  ,可得12S t GMr  ,则在相等的时间内，该卫星与地球的连线扫过的面积和地球与太阳连线扫过的面积的比值是1nk，A 正确。

　17、某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，春分那天(太阳光直射赤道)在日落 12 小时内有 t 1 时间该观察者看不见此卫星．已知地球半径为 R，地球表面处的重力加速度为 g，地球自转周期为 T，卫星的运动方向与地球转动方向相同，不考虑大气对光的折射．下列说法中正确的是(

　) A．同步卫星离地高度为3gR 2 T 24π 2 B．同步卫星加速度小于赤道上物体向心加速度 C．t 1 ＝ Tπ arcsinR3gR 2 T 24π 2 D．同步卫星加速度大于近地卫星的加速度 【参考答案】.C 【名师解析】

　根据r 3T 2 ＝GM4π 2 ，GM＝gR2 ，得同步卫星轨道半径为 r＝3gR 2 T 24π 2，离地高度为 h＝3gR 2 T 24π 2－R，A 项错误；由于同步卫星与赤道上物体转动角速度相同，根据 a＝ω 2 r，同步卫星离地心距离较大，同步卫星加速度大于赤道上物体向心加速度，B 项错误；根据光的直线传播规律，日落 12 小时内有 t 1 时间该观察者看不见此卫星，如图所示， 同步卫星相对地心转过角度为 θ＝2α，sinα＝ Rr ，结合 θ＝ωt＝2πTt，解得 t 1 ＝ Tπ arcsinR3gR 2 T 24π 2，C 项正确；根据 a＝ GMr 2，同步卫星的轨道半径比近地卫星轨道半径大，故同步卫星的加速度小于近地卫星

　 的加速度，D 项错误．

　 二．计算题 1 ．.(8 分)（2020 福建福州期末）某卫星在地球赤道正上方做匀速圆周运动，其运行方向与地球自转方向相同，如图所示。已知地球的质量为 M，卫星轨道半径为 r，引力常量为 G

　(1)求该卫星绕地球运动的速度 v 和周期 T； (2)在图中标出从赤道 P 处可以观察到卫星的范围所对应的圆心角。

　【名师解析】：

　（1）

　根据牛顿第二定律：rvmrMmG22

　 ①（2 分）

　rTmrMmG22)2(

　 ②（2 分）

　解得：rGMv 

　③（1 分）

　GMrT32  

　④（1 分）

　（2）如图所示，AB 之间及其对应圆心角（2 分）

　2. （20 分）（2018 北京平谷区一模）

　（1）牛顿发现万有引力定律之后，在卡文迪许生活的年代，地球的半径经过测量和计算已经知道约 6400千米，因此卡文迪许测出引力常量 G 后，很快通过计算得出了地球的质量。1798 年，他首次测出了地球的质量数值，卡文迪许因此被人们誉为“第一个称地球的人”。若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，万有引力常量为 G，忽略地球的自转。

　a．求地球的质量；

　b．若一卫星在距地球表面高为 h 的轨道上绕地球作匀速圆周运动，求该卫星绕地球做圆周运动的周期；

　 （2）牛顿时代已知如下数据：月球绕地球运行的周期 T、地球半径 R、月球与地球间的距离 60R、地球表面的重力加速度 g。牛顿在研究引力的过程中，为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，同样遵从与距离的平方成反比规律的猜想，他做了著名的“月地检验”：月球绕地球近似做匀速圆周运动。牛顿首先从运动学的角度计算出了月球做匀速圆周运动的向心加速度；接着他设想，把一个物体放到月球轨道上，让它绕地球运行，假定物体在地面受到的重力和在月球轨道上运行时受到的引力，都是来自地球的引力，都遵循与距离的平方成反比的规律，他又从动力学的角度计算出了物体在月球轨道上的向心加速度。上述两个加速度的计算结果是一致的，从而证明了物体在地面上所受的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，遵循同样规律的设想。根据上述材料：

　a．请你分别从运动学的角度和动力学的角度推导出上述两个加速度的表达式； b．已知月球绕地球做圆周运动的周期约为 T=2.4×10 6 s，地球半径约为 R=6.4×10 6 m，取 π 2 =g．结合题中的已知条件，求上述两个加速度的比值，并得出合理的结论。

　【名师解析】

　（1）a．设地球质量为 M，地球表面上的某物体质量为 m：

　mgRMmG 2 ----------------------3 分

　解得：GgRM2

　-----------------------2 分 b．万有引力提供卫星做圆周运动的向心力：

　) (4) (222h RTmh RMmG  

　---------------3 分

　解得：gh RRT3) ( 2 

　-----------------2 分 （2）a．月球绕地球做匀速圆周运动，由运动学公式：

　R a 6021  

　--------------------------1 分

　T2

　---1 分

　解得：221240TRa

　 ----------------------1 分 质量为 m 的物体在地面上受到的重力：21Rmg G  

　-------1 分 质量为 m 的物体在月球轨道上受到的引力：22) 60 (1Rma F  

　--1 分

　 解得：

　g a360012

　----------------------1 分

　 b．由以上结果得：g TRaa22213600 240 

　------------------------1 分

　代入已知数值得：21aa=0.96

　--------------------1 分

　由以上结果可以看出，在误差范围内可认为 a 1 =a 2 ，这说明物体在地面上所受重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，遵循与距离的平方成反比的规律．--------2 分 3、1995 年人类在太阳系以外首次发现绕恒星公转的行星,此后,又相继发现了一百五十多颗在太阳系以外的行星。检测出这些太阳系以外的行星的原理可以理解为:质量为 M 的恒星和质量为 m 的行星(M>m),在它们之间的万有引力作用下有规则地运动着。如图所示,我们认为行星在以某一定点 C 为中心、半径为 a 的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星,且恒星不在 C 点)。设引力常量为 G,恒星以及行星的大小忽略不计,其他天体对它们的影响不计,行星在轨道上逆时针公转,恒星与行星间的万有引力为行星做圆周运动提供向心力。

　(1)恒星、行星、点 C 之间的位置关系如何?简单说明理由。

　(2)求恒星和 C 点之间的距离、行星的速率 v 和恒星的速率 v"。

　【参考答案】：(1)见解析(2)m GMM m a  【名师解析】：(1)根据题意,恒星和 行星实际上组成了双星系统,即恒星、行星、点 C 在一条直线上,恒星和行星 都绕 C 点做匀速圆周运动,恒星的轨 道半径相对较小,相对位置如图所示。

　(2)设恒星与 C 点之间的距离为 b,恒 星和行星转动的角速度相等,根据万有引力提供向心力有：

　  2 22GMmm a M ba b   。联立解得mb aM 。

　根据万有引力提供向心力有 22Maam vG mb, 解得行星的速率: M GMvM m a,

　同理解得恒星的速率: "m GMvM m a。