椭圆教案讲义含练习解析
椭圆 教案讲义 含练习解析
知识要点分析:
(一)椭圆的定义 平面内与两个定点为 F ,F 的距离的和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。特别地,当常数等于 时,轨迹是线段 F F ,当常数小于 时,无轨迹。
(二)椭圆的标准方程及几何性质 1、标准方程是指中心在原点,坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。
中心在原点,焦点在轴上 中心在原点,焦点在轴上 标准方程
参数方程 为参数)
为参数)
图形
顶点
对称轴 轴, 轴;短轴为 ,长轴为
焦点
焦距
离心率 (离心率越大,椭圆越扁)
1 2 2 1 FF2 1 FF1 2 2 1 FFx y) 0 ( 12222 b abyax) 0 ( 12222 b abxay(sincosb ya x(sincosa yb x) , 0 ( ), , 0 () 0 , ( ), 0 , (2 12 1b B b Ba A a A) , 0 ( ), , 0 () 0 , ( ), 0 , (2 12 1a B a Bb A b Ax y b 2 a 2) 0 , ( ), 0 , (2 1c F c F ) , 0 ( ), , 0 (2 1c F c F ) 0 ( 2 | |2 1 c c F F2 2 2b a c ) 1 0 ( eace
准线
焦准距
说明:方程中的两个参数 a 与 b,确定椭圆的形状和大小,是椭圆的定型条件,焦点 F ,F 的位置,是椭圆的定位条件,它决定椭圆标准方程的类型,常数 a,b,c 都大于零,其中a 最大且 a =b +c 2、椭圆焦点三角形:设 P 为椭圆 上任意一点,F ,F 为焦点且∠F PF = ,则△PF F 为焦点三角形,S=b tan。
3、方程 表示椭圆的充要条件是:ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B。A>B 时,焦点在 y 轴上,A<B 时,焦点在 x轴上。
4、弦长公式:x ,x 分别为弦 PQ 的横坐标,弦 PQ 所在直线方程为 y=kx+b,代入椭圆方程整理得 Ax2 +Bx+C=0,则=,若 y ,y 分别为弦 PQ 的纵坐标,则 =, 5、直线与椭圆的位置关系:设直线 l 的方程为:Ax+By+C=0,椭圆 (a﹥b﹥0),组成方程组,消去 y(或 x)利用判别式△的符号来确定。
若△>0 直线与椭圆有两个交点, 若△=0 直线与椭圆有一个交点, 若△<0 直线与椭圆没有交点。
6、点 P 和椭圆 (a﹥b﹥0)的关系:
(1)点 P(x ,y )在椭圆外 >1, (2)点 P(x ,y )在椭圆上 =1, (3)点 P(x ,y )在椭圆内 <1 cax2 cay2 cbccap2 2 1 22 2 212222 byax12 1 21 2222 2Ax By C 1 2PQ2 121 x x k 1 2PQ2 1211 y yk 12222 byax12222 byax0 0220220byax0 0220220byax0 0220220byax
【典型例题】
1、已知点 P(3,4)是椭圆 (a﹥b﹥0)上的一点,两个焦点为 F ,F ,若 PF ⊥PF ,试求:
(1)椭圆的方程 (2)△PF F 的面积 :
解析:(1)解法一:令 , ,则 。
, , 即 ,解得 , 椭圆方程为 , 点 在椭圆上, , 解得 或
又 , (舍去), 故所求椭圆方程为 。
解法二:
, 为直角三角形,
又 , , 椭圆方程为 (以下同解法一)
(2)解法一:P 点纵坐标的值即为 边上的高, 。
解法二:由椭圆定义知:
① 又
② ① ②得 ,
反思:要确定椭圆的标准方程,即确定 、 的值,由于,故只需求出 、 、 中的任意两个量即可。本例中利用 的条件或使用斜率或借助平面几何知识均可求出 。对于求 的面积,解法一利用了第一定义和勾股12222 byax1 2 1 21 2 0 ,1c F 0 ,2c F2 2 2c a b 2 1PF PF 12 1 PF PFk k13434 c c5 c 1252222ayax 4 , 3 P 12516 92 2a a452 a 52 ac a 52 a120 452 2 y x2 1PF PF 2 1 FPF c F F OP 2 1215 4 32 2 OP 5 c 1252222ayax2 1 FF 20 4 10214212 12 1 F F SF PF5 62 1 PF PF22 12221F F PF PF 280 22 1 PF PF 20212 12 1 PF PF SF PFa b2 2 2c b a a b c2 1PF PF 5 c2 1 FPF
定理,以上解法都说明在处理解析几何问题时,既可以用代数的方法求值运算,又可以利用某些几何性质。
2、椭圆 C:
(a﹥b﹥0)的两个焦点为 F ,F ,点 P在椭圆 C 上,且 PF ⊥PF ,︱PF ︱= ,︱PF ︱=
(1)求椭圆 C 的方程。
(2)若直线 l 过圆 x2 +y 2 +4x-2y=0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程. 解析:解法一:(1)因为点 P 在椭圆 C 上, 所以 , 。
在 中, , 故椭圆的半焦距 ,从而 。
所以椭圆 C 的方程为 。
(2)设 A,B 的坐标分别为 , 。
已知圆的方程为 ,所以圆心M的坐标为 , 从而可设直线 的方程为 ,代入椭圆 C 的方程得 。
因为 A,B 关于点 M 对称,所以 , 解得 ,所以直线 的方程为 , 即 。
解法二:(1)同解法一。
(2)已知圆的方程为 ,所以圆心 M 的坐标为,设 A,B 的坐标分别为 , 。由题意知:且 ,
① 。
② 由①-②得 。
③ 因为 A,B 关于点 M 对称, 12222 byax1 21 2 14321436 22 1 PF PF a 3 a2 1 FPF Rt 5 22122 2 1 PF PF F F5 c 42 2 2 c a b14 92 2 y x 1 1 , yx 2 2 ,yx 5 1 22 2 y x 1 , 2 l 1 2 x k y 0 27 36 36 18 36 9 42 2 2 2 k k x k k x k29 49 182222 1 kk k x x98 k l 1 298 x y0 25 9 8 y x 5 1 22 2 y x 1 , 2 1 1 , yx 2 2 ,yx2 1x x 14 92121 y x14 92222 y x 04 92 1 2 1 2 1 2 1 y y y y x x x x
所以 , 。代入③得 , 即直线 的斜率为 ,所以直线 的方程为 , 即 。
反思:
(1)利用椭圆的定义求 及已知的条件求 从而求出椭圆方程。
(2)解法一:利用解析几何的基本思想——用代数方法解决几何问题,先求出圆心坐标从而求出 的值。
解法二:利用点差法求出 的值,从而求出直线 的方程。
3、已知椭圆 ,求过点 且被 平分的弦所在的直线的方程. 分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为 ,利用条件求 . 解法一:设所求直线的斜率为 ,则直线方程为 .代入椭圆方程,并整理得 . 由韦达定理得 . ∵ 是弦中点,∴ .故得 . 所以所求直线方程为 . 分析二:设弦两端坐标为 、 ,列关于 、 、 、的方程组,从而求斜率:
. 解法二:设过 的直线与椭圆交于 、 ,则由题意得 42 1 x x 22 1 y y982 12 1x xy yl98l 1 298 x y0 25 9 8 y xa ck1 21 2x xy ylk
①-②得 .⑤ 将③、④代入⑤得 ,即直线的斜率为 . 所求直线方程为 . :
注:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦的中点轨迹. (2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率. (3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理的应用”及“点差法”. 4、已知圆 C 1 的方程为 ,椭圆 C 2 的方程为, C 2 的离心率为 ,如果 C 1 与 C 2 相交于 A 、 B 两点,且线段 AB 恰为圆 C 1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C 2 的方程。
【解析】由
3201 22 2 y x 12222 byax a b 022. , 2 ,22,222 2 2 2c b c aace 得
设椭圆方程为
设
又
两式相减,得
又
所以直线 AB 的方程为
即
将
由 。
得 ,解得
故所求椭圆 的方程为
5、过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 的椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,直线 y = x 过线段 AB的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称,. 122222 bybx). 1 , 2 ( ). , ( ). , (2 2 1 1由圆心为 y x B y x A. 2 , 42 1 2 1 y y x x, 12, 12222222221221 bybxbybx. 022222122221by ybx x, 0 ) )( ( 2 ) )( (2 1 2 1 2 1 2 1 y y y y x x x x. 1 . 2 . 42 12 12 1 2 1 x xy yy y x x 得1 ( 2) y x 3 x y得 代入 , 1232222 bybxx y. 0 2 18 12 32 2 b x x. 0 72 24 .22 b C AB 相交 与椭圆 直线 320x x 4 ) x x ( 2 x x 2 B A2 122 1 2 1 320372 b 2422 . 82 b2C. 18 162 2 y x2221
试求直线 l 与椭圆 C 的方程.
【解析】解法一:由 e = ,得 ,从而 a2 =2 b 2 , c = b . 设椭圆方程为 x2 +2 y 2 =2 b 2 , A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )在椭圆上. 则 x 12 +2 y12 =2 b 2 , x22 +2 y22 =2 b 2 ,两式相减得, ( x 12 - x22 )+2( y12 - y22 )=0, 设 AB 中点为( x 0 , y 0 ),则 k AB =- , 又( x 0 , y 0 )在直线 y = x 上, y 0 = x 0 , 于是- =-1, k AB =-1, 设 l 的方程为 y =- x +1. 右焦点( b ,0)关于 l 的对称点设为( x ′, y ′),
由点(1,1- b )在椭圆上,得 1+2(1- b )2 =2 b 2 , b 2 =. ∴所求椭圆 C 的方程为 =1, l 的方程为 y =- x +1. 解法二:由 e = ,从而 a2 =2 b 2 , c = b . 22ac2122 2ab a.) ( 22 12 12 12 1y yx xx xy y 002yx2121002yx b yxb x yb xy11
12 21解得 则89,1692 a2291698yx21,2222 2ab aac得
设椭圆 C 的方程为 x2 +2 y 2 =2 b 2 , l的方程为 y = k ( x -1), 将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2 k2 )
x 2 -4 k 2 x +2 k 2 -2 b 2 =0, 则 x 1 + x 2 = , y 1 + y 2 = k ( x 1 -1)+ k ( x 2 -1)= k ( x 1 + x 2 )-2 k =- . 直线 l :
y = x 过 AB 的中点( ),则 , 解得 k =0,或 k =-1. 若 k =0,则 l 的方程为 y =0,焦点 F ( c ,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身,不能在椭圆 C 上,所以 k =0 舍去,从而 k =-1,直线 l 的方程为 y =-( x -1),即 y =- x +1,以下同解法一. 解法三:设椭圆方程为
直线不平行于 y 轴,否则 AB 中点在 x 轴上与直线 中点矛盾。
故可设直线
,
, , ,
, , 222 14kk22 12kk212,22 1 2 1y y x x 2222 12212 1 kkkk ① ) 0 b a ( 1byax2222 AB x y 过21② 的方程为 ) 1 x ( k y l 整理得:
②代入①消y ③ 0 b a k a x a k 2 x ) b a k (2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) (2 2 1 1y x B y x A , , 设2 2 22 22 12b a ka kx x 知:代入上式得:
又 k x x k y y 2 ) (2 1 2 1 21 22 1x xkk21222 22 2 2 a kb a kk k2122 kabk k22 e 又1 2 2) ( 2 2222 222 eac aabk x y l 1 的方程为 直线
, ,
, , , , , 则 , , , ,
所以所求的椭圆 C 的方程为:
即:
本讲涉及的数学思想、方法
1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程构成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.
2 22b a 此时 0 b 2 2 x 4 x 32 2 方程③化为 0 ) 1 3 ( 8 ) 1 ( 24 162 2 b b33 b ④ 的方程可写成:
椭圆2 2 2b 2 y 2 x C 2 2 2 2b b a c 又) 0 ( , 右焦点 b F ) (0 0y x l F , 的对称点 关于直线 设点b y xb x yb xy 1 121210 00 000,在椭圆上,代入④得:
, 又点 ) b 1 1 ( 22 ) 1 ( 2 1 b b 3343 b1692 b892 a1169892 2 y x19y 169x 82 2
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第一章:绪论第一节非政府组织的界定与特征联合国的NGO是指,在地方,国家或国际级别上组织起来的非营利
【外国名著】 日期:2020-09-13
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餐饮业是通过即时加工制作、商业销售和服务性劳动于一体,向消费者专门提供各种酒水、食品,消费场所和设施的食品生产经营行业。下面小编就为大家解开时尚餐厅店面装修图片,...
【外国名著】 日期:2019-05-16
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梦见打官司 [解梦梦见在打官司]
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【外国名著】 日期:2020-02-26
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小型服装店装修效果图【小服装店店面装修效果图】
当前在服装店室内设计中,存在着几种不良的倾向,有碍于服装店装修体现的顾客满意气氛。下面小编就为大家解开小服装店店面装修效果图,希望能帮到你。 小服装店店面装修效果...
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手机大尺度直播平台 [尺度最大的手机直播有哪些]
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【外国名著】 日期:2020-03-07
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材料力学金属扭转实验报告
材料力学金属扭转实验报告 【实验目的】 1、验证扭转变形公式,测定低碳钢的切变模量G。;测定低碳钢和
【外国名著】 日期:2020-11-27
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把脉人力资源管理的风向标 外部经营环境的巨大变化,不可避免地给身处其中的企业及其经营管理带来新的、深刻的变化和挑战:市场需求在明显萎缩;而买方市场中,客户要求
【外国名著】 日期:2019-09-04
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《怦然心动(2010)》电影完整中英文对照剧本
我最大的愿望就是朱莉·贝克能离我远点AllIeverwantedwasforJuliB
【外国名著】 日期:2020-07-27
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梧桐花的花语|梧桐花的功效与作用
梧桐花为梧桐科植物梧桐的花,植物形态详梧桐子条。今天小编为你整理了梧桐花的花语,欢迎阅读。 梧桐花的花语是:情窦初开 在春季里晚开的花朵,有着恬淡的气息。 ...
【寓言童话】 日期:2020-03-03
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西部计划笔试题库(99题含答案) 1 第十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》,自
【寓言童话】 日期:2021-06-16
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API油管规格及尺寸 公称尺寸(in) 不加厚外径(mm) 不加厚内径(mm) 加厚外径(mm) 加
【寓言童话】 日期:2020-08-31
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淀粉糊化度测定方法
颗粒饲料中淀粉糊化度的测定 一、淀粉糊化度说明: 饲料配方中玉米的用量一般在45%以上,而玉米中淀粉
【寓言童话】 日期:2020-12-14
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北京最好吃的自助餐厅 北京高档自助餐排名
自助餐简直就是拯救大胃王的最佳饮食!没有之一!世界上没有什么事情是吃一顿自助餐解决不了的,如果有,那就吃两顿!下面小编给大家推荐北京几家好吃的自助餐。 北京最好吃的...
【寓言童话】 日期:2020-02-25
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水文灾害
水文灾害 中国的水文灾害 11、 洪涝灾害 ⑴分布特点:东多西少;沿海多,内陆少;平原低地多,高原山
【寓言童话】 日期:2020-09-23
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惊悚鬼故事50字 令人惊悚的故事
这些惊悚故事在短短的篇幅和时间之内让您感受到故事里传达出来的恐怖感,令你感到害怕。下面就是小编给大家整理的令人惊悚的故事,希望对你有用! 令人惊悚的故事篇1:学校...
【寓言童话】 日期:2019-05-13
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100元钱折纸大全 图解 100元人民币折纸
折纸也是一门艺术,大家知道怎么用100元人民币折纸吗?今天,小编为大家带来了100元人民币折纸,希望大家喜欢! 100元人民币折纸方法 步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 ...
【寓言童话】 日期:2020-03-12
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超星-超星中国陶瓷史课后答案
以下关于考古学的定义错误的是()。 窗体顶端·A、考古学主要研究远古时期的自然遗迹&m
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云南10日自助游攻略|去云南自助游攻略
2017去云南,来一场说走就走的旅行,遇见独一无二的彩云之南的美景圣地。下面小编为您整理了云南10日自助游攻略,供您参考。 云南10日自助游攻略推荐 第一站昆明 昆...
【寓言童话】 日期:2019-05-14
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学生高考动员演讲稿3篇高考动员演讲稿11 老师们、同学们: 大家下午好!漫漫高考长征路已经进入尾声了
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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最新企业安全的演讲稿5篇 演讲稿是作为在特定的情境中供口语表达使用的文稿。在充满活力,日益开放的今天
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结_1
XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结 为深入贯彻精准扶贫精准脱贫基本方略,认真落实党中央、国务院,省委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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对乡镇领导班子干部成员批评意见例文
对乡镇领导班子干部成员的批评看法范文 一、对党委书记XXX同志的批评看法〔3条〕 1、与干部交流偏少
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群英乡扶贫资金项目((芬坡村祖埇村生产道路硬化工程))绩效自评报告 一、基本情况(一)群英乡扶贫资金
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党委书记在警示教育大会上的讲话55篇汇编 党委书记在警示教育大会上的讲话(一) 同志们: 根据省州委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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关于12021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料 按照中央巡视组要求和省、市、区委统一部署,区
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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消防安全知识培训试题姓名: 部门班组: 成绩: 一:填空题,每空4分,共44分。 1、灭火剂是通过隔
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涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程
涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程 目前,全球疫情仍处于大流行状
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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疫情防控致全体师生员工及家长一封信
疫情防控致全体师生员工及家长的一封信 各位师生员工及全体家长朋友: 暑假已至,近期我省部分地方发现确
【百家讲坛】 日期:2021-08-14