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    2021届高三复习专练,13三视图与体积

    时间：2020-11-30 20:26:31 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：体积 复习 三视图

    　1 13 三视图与体积、表面积

    　 例 1：我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在同一等高处的截面积都相等，则两几何体题意相等．已知某不规则与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为 圆周，则该不规则几何体的体积为（

    　）

    　A．

    　B．

    　C．

    　D．

    　【答案】B 【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与 圆锥体的组合体，如图所示：

    　则该组合体的体积为 ， 所以对应不规则几何体的体积为 ，故选 B． 例 2：《九章算术》中，将底面是直角三角形的三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（

    　）

    　14π121 π3 6 1 2π 1 2π3 31421 1 1 1 1 π1 1 2 π 1 23 2 3 4 3 6V           1 π3 61、与三视图有关的几个方面的应用

    　 A．

    　B．

    　C．

    　D．

    　【答案】B 【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱， 底面面积为 ，底面周长为 ， 故棱柱的表面积 ，故选 B．

    　一、选择题 1．已知某几何体三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为 的正方形，则该几何体外接球的体积是（

    　）

    　A．

    　B．

    　C．

    　D． 【答案】D 【解析】由几何体正视图、侧视图均是边长为 的正方形， 结合俯视图可得此几何体是棱长为 的正方体的一部分，如图， 4 6 4 2  4 4 2  212 1 12   2 2 2 2 2 2    2 1 2 (2 2 2) 6 4 2 S       22 3π4 2π34 3π34 3π22

    　四棱锥 ，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球， 外接球的直径等于正方体的体对角线长，即 ， 所以外接球的半径 ，此几何体的外接球的体积 ．

    　2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

    　）

    　A．

    　B．

    　C．

    　D．

    　【答案】C 【解析】由三视图可知，原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥（如下图）， 三棱柱的底面是边长为 的等边三角形，高为 ， 三棱锥的底面为 ， ， 可求出等腰三角形 的面积为 ， 该几何体的表面积为 ．

    　E ABCD 2 2 3 R 3 R 34π4 3π3V R   6 7 3  10 3  12 3  122 21 1PC B21 11 2 5 PC PB    1 1PC B 21 3 22 2 (1 2) 2 2 2 2 12 32 2 2            

    　3．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为 ，则 （

    　）

    　A．

    　B．

    　C．

    　D．

    　【答案】C 【解析】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图：

    　为 的中点， ∵正视图和俯视图都是等腰直角三角形， 底面 ， ， ∴几何体的外接球的球心为 是 的外心，半径为 ，该几何体的外接球体积为 ， ∴外接球的体积 ， ， ．

    　4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

    　）

    　A．

    　B．

    　C．

    　D．

    　【答案】A 32π3h=13 2 6 2 3 3O ACFO^ ABC 1 OB OC OA = = =E ACD △ r32π334 32ππ3 3V r = ? 2 r = 2 3 h =56 2 34  32 2 34  56 8 3  32 8 2 

    　【解析】该几何体的直观图如图所示．易知 ， ， ，， ， ， 所以 ， ， ， ， 所以该几何体的表面积 ．

    　5．“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体，在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之间垫的方形木块叫斗，如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图，则它的体积为（

    　）

    　A．

    　B．

    　C．

    　D．

    　【答案】B 【解析】由已知中的三视图可得该几何体下半部分是一个下底面边长为 上底面边长为 的正方形、高为 的棱台，上半部分为一个棱柱，截去中间一个小棱柱，所得的组合体，如图， 棱台的体积为 ， PB BC  PD DC  5 PD PA  4 2 AD  8 AB  3 PE 14 5 102PBC PCDS S     △ △14 2 17 2 342PADS    △18 3 122PABS    △1(4 8) 4 242ABCDS     56 2 34 S  973853537333 4111 371 (3 3 4 4 3 3 4 4)3 3V           

    　上半部分的体积为 ， ∴ ．

    　6．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为 ，则该几何体的表面积为（

    　）

    　A．

    　 B．

    　C．

    　 D．

    　【答案】D 【解析】依题意，该几何体为长方体里面挖掉了一个圆锥，故所求表面积．

    　二、填空题 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

    　． 21.5 4 4 1 2 4 24 8 16 V         37 85163 3V   115112 ( 1)π3 17112 ( 1)π3 112 ( 15 1)π   112 ( 17 1)π  24 5 4 4 4 2 π 1 π 1 17 112 ( 17 1)π S              

    　 【答案】

    　【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱，圆柱的底面半径 ，圆柱的高 ， 所以圆柱的表面积为 ． 8．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的体积为______．

    　【答案】

    　【解析】根据几何体的三视图找到对应的几何体原图是如图所示的三棱锥 ， 其中 ， 的面积为 ， 所以三棱锥 的体积为 ．

    　 三、解答题 8π1 r  3 h22π 2π 2π 1 2π 1 3 8π r rh       2163C ABD 2 BD ABD △12 4 42  C ABD 1 1 162 4 43 2 3V      

    　9．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同．

    　（1）求此几何体的体积； （2）求几何体的表面积． 【答案】（1）

    　；（2）

    　． 【解析】（1）由题知该几何体是一个正四棱柱（上面）和半个球（下面）构成的几何体．

    　正四棱柱的底面对角线为 ，所以底面边长为 ，高为 ，半球的半径为 ． 所以 ． （2）

    　． 10．已知一个几何体的三视图如图所示． 168 2 π3 16 12π 4 2 2 2 231 1 4 16= 4 4 2 π 2 8 2 π2 2 3 3V V V          四棱柱 半球2 21+ 4 2 2 2 4π 2 π 2 16 12π2S S S S            圆 四棱柱侧 半球

    　 （1）求此几何体的表面积； （2）如果点 ， 在正视图中所示位置， 为所在线段中点， 为顶点，求在几何体侧面的表面上，从 点到 点的最短路径的长． 【答案】（1）

    　；（2）

    　． 【解析】（1）由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体， 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和． ， ， ， 所以 ． （2）沿 点与 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．

    　则 ， 所以从 点到 点在侧面上的最短路径的长为 ．

    　 PQPQPQ 22 5 π S a  表21 π a    212π 2 2π2S a a a   圆锥侧   22π 2 4π S a a a   圆柱侧2π S a 圆柱底 2 2 2 22π 4π π 2 5 π S a a a a     表PQ 2 2 2221 π π PQ AP AQ a a a      PQ21 π a 

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