实验四IIR数字滤波器设计实验报告
HUNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 数字信号处理 实验报告 实验四 IIR 数字滤波器的设计 学 生 姓 名 张 志 翔 班
级 电子信息工程 1203 班 学
号 12401720522 指 导 教 师
2015429
实验四 IIR 数字滤波器的设计 一、 实验目的:
1. 掌握双线性变换法及脉冲响应不变法设计 IIR 数字滤波器的具体 设计方法及其原理,熟悉用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、 高通和带通 IIR数字滤波器的 MATLA 编程。
2. 观察双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性,了 解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点。
3. 熟悉 Butterworth 滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器的频率 特性。
二、 实验原理 :
1 .脉冲响应不变法 用数字滤波器的单位脉冲响应序列 模仿模拟滤波器的冲激响应 , 让 正好等于 的采样值,即,其中 为采样间隔,如果以 及 分别表示 的 拉式变换及的 Z 变换,则 1 2 H(z ) ze sT 〒 H a (s j—m) I m I 2 .双线性变换法 S 平面与 z 平面之间满足以下映射关系: 1 Is
s 平面的虚轴单值地映射于 z 平面的单位圆上, s 平面的左半平面完 全映射到 z 平面的单位圆内 双线性变换不存在混叠问题。可通过预畸而得到校正 三、实验内容及步骤:
1 T s (s j ; z re j
)
双线性变换是一种非线性变换 ,这种非线性引起的幅频特性畸变
实验中有关变量的定义 :
fc 通带边界频率; fr 阻带边界频率; 3 通带波动; At 最小阻 带衰减; fs 采样频率; T 采样周期 (1) =0.3KHz, S =0.8Db, =0.2KHz, At =20Db,T=1ms; 设计一个切比雪夫高通滤波器,观察其通带损耗和阻带衰减是否满足 要求。
MATLA 源程序:
wp=2*1000*ta n(2*pi*300/(2*1000)); ws=2*1000*ta n(2*pi*200/(2*1000)); [N,wn]=cheb1ord(wp,ws,0.8,20,"s"); % 给定通带( wp )和阻带 (ws) 边界角频率,通带波动波动 0.8 ,阻带最小衰减 20dB, 求出最低阶数 和通带滤波器的通带边界频率 Wn [B,A]=cheby1(N,0.5,wn,"high","s");% 给定通带( wp )和阻带 (ws) 边界角频率,通带波动 [nu m,de n]=bili near(BA 1000); [h,w]=freqz (nu m,de n); f=w/(2*pi)*1000;
plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0,500,-80,10]); grid;xlabel(" 频率 ");ylabel(" 幅度 /dB") 程序结果
分析:由图可知,切比雪夫滤波器幅频响应是通带波纹,阻带单调衰 num = 0.0304 -0.1218 0.1827 -0.1218 0.0304 den = 1 1.3834 1.4721 0.8012 0.2286 系统函数:
=0.0304 -0.1218Z 1
0.1827 Z 2 -0.1218 Z 3
0.0304 Z 4
=1.0000+1.3834 Z 1 +1.4721 Z 2 +
0.8012 Z 3 +0.2286 Z 4
幅频响应图: Figure 1 File Edit View Insert Tools Desktop Window Help □曰£空| 脅®熄貳 TD| 口图|・口 m蚩
减的。
3 =0.8 , fr=0.2kHz,At=30Db, 满足设计要求 (2) fc=0.2kHz, S =1dB,fr=0.3kHz,At=25dB,T=1ms; 分别用脉冲响 应不变法及双线性变换法设计一 Butterworth 数字低通滤波器,观察 所设计数字滤波器的幅频特性曲线, 记录带宽和衰减量,检查是否满 足要求。比较这两种方法的优缺点。
MATLA 源 程序:
T = 0.001;fs = 1000;fc = 200;fr = 300; wp1 = 2*pi*fc;wr1 = 2*pi*fr; [N1,w n1] = buttord(wp1,wr1,1,25,"s") [B1,A1] = butter(N1,w n1,"s"); [nu m1,de n1] = imp in var(B1,A1,fs);% 脉冲响应不变法 [h1,w] = freqz (nu m1,de n1); wp2 = 2*fs*ta n(2*pi*fc/(2*fs)) wr2 = 2*fs*ta n(2*pi*fr/(2*fs)) [N2,w n2] = buttord(wp2,wr2,1,25,"s") [B2,A2] = butter(N2,w n2,"s"); [nu m2,de n2] = bili near(B2,A2,fs);% 双线性变换法 [h2,w] = freqz (nu m2,de n2); f = w/(2*pi)*fs; plot(f,20*log10(abs(h1)),"-.",f,20*log10(abs(h2)),"-");
0.0025 0.2681Z 2
0.3575Z 3
0.2681z 4
0.1072z 5
0.0176z 6
axis([0,500,-100,10]);grid;xlabel(" 频率 /Hz ");ylabel(" 幅度 /dB")
title(" 巴特沃思数字低通滤波器 "); legend(" 脉冲相应不变法 "," 双线性变换法 ",1);结果分析:
脉冲响应不变法的低通滤波器系统函数 :
num1 -2.3647 0.0002 0.0153 0.0995 0.1444 0.06110.0075 0.0002 3.6569 0 den1 1 -1.9199 2.5324 -2.2053 1.3868 -0.6309 0.2045 -0.0450 0.0060 -0.0004 2.36470.0002Z 0.0153Z 0.0995Z 0.1444Z 0.0611Z 0.0075Z 0.0002Z 3.6569Z LJ (
_________________________________________________________________________
1 1.9199Z 2.5324Z 2.2053Z 1.3869Z 0.6309Z 0.2045Z 0.0450Z 0.0060Z 0.0004Z 双线性变换法设计的低通滤波器系统函数 num2 0.0179 0.1072 0.2681 0.3575 0.2681 den2 0.1072 0.0179 -0.6019 0.9130 -0.2989 0.1501 -0.0208 H(z) 0.0179 0.1072Z 1
分析:脉冲响应不变法的频率变化是线性的, 数字滤波器频谱响应出 现了混叠,影响了过渡带的衰减特性,并且无传输零点;双线性变化 法的频率响应是非线性的,因而消除了频谱混叠,在 f=500Hz 出有一 个传输零点。
脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的, w=Q T,® 与 Q 是线性关系:在某些场合,要求数字滤波器在时域上能模 仿模拟滤波器的功能时,如要实现时域冲激响应的模仿,一般使用脉 冲响应不变法。
脉冲响应不变法的最大缺点:有频谱周期延拓效应,因此只能用于带 限的频响特性,如衰减特性很好的低通或带通 , 而高频衰减越大,频 响的混淆效应越小,至于高通和带阻滤波器 , 由于它们在高频部分不 衰减,因此将完全混淆在低频响应中,此时可增加一保护滤波器,滤 掉高于 的频带,再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器,这会增 加设计的复杂性和滤波器阶数,只有在一定要满足频率线性关系或保 持网络瞬态响应I 口厲 P
仏 \ ® G " a
BJ Figure 1 10 0 -10 -20 -30 -50 -60 -70 -■100 □回□口 □□ P 晅 lg Win dow Fi le Edit : : ——脉冲扁应不变法 f 厂…- 1 腑咖賁换法
时才采用。
双线性变换法的主要优点是 S 平面与 Z 平面一一单值对应, s 平面的 虚轴 ( 整个 j Q )
对应于 Z 平面单位圆的一周, S 平面的 Q =0 处对应于 Z 平面的 3 =0 处, Q 二乂处对应于 Z 平面的 3 = n 处 , 即数字滤波器 的频率响应终止于折叠频率处,所以双线性变换不存在混迭效应。
双线性变换缺点 :
Q 与 3 成非线性关系,导致:
a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变, ( 使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变 )
。
b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后,得到的数字滤波器为非 线性相位。
c. 要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的, 故双线性变换只 能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。
(3)
利用双线性变换法分别设计满足下列指标的 Butterworth 型、 Chebyshev 型和椭圆型数字低通滤波器,并作图验证设计结果:
fc=1.2kHz , 0.5dB ,fr=2kHz , At > 40dB, fs=8kHz ,比较这 种滤波器的阶数。
MATLA 源程序:
clear all; wc=2*pi*1200;wr=2*pi*2000;rp=0.5;rs=40;fs=8000; w1 二
2*fs*ta
n(wc/(2*fs)); w2=2*fs*ta n(wr/(2*fs)); [Nb,w n] 二 buttord(w1,w2,rp,rs,"s") % 巴特沃思 [B,A]=butter(Nb,w n,"s"); [nu m1,de n1]=bili near(B,A,fs); [h1,w]=freqz (nu m1,de n1); [Nc,w n]=cheb1ord(w1,w2,rp,rs,"s") % 切比雪夫 [B,A]=cheby1(Nc,rp,w n,"s"); [nu m2,de n2]=bili near(B,A,fs); [h2,w]=freqz( nu m2,de n2); [Ne,w n ]=ellipord(w1,w2,rp,rs,"s") % 椭圆型 [B,A]=ellip(Ne,rp,rs,w n, "low","s"); [nu m3,de n3]=bi lin ear(B,A,fs); [h3,w]=freqz (nu m3,de n3); f=w/(2*pi)*fs; plot(f,20*log10(abs(h1)),"-",f,20*log10(abs(h2)),"--",f,20* Iog10(abs(h3)),":"); axis([0,4000,-100,10]);grid; xlabel("Frequency in Hz"); ylabel("Gain in dB"); title(" 三种数字低通滤波器 "); legend(" 巴特沃思数字低通滤波器 "," 切比雪夫数字低通滤波器 椭圆数字低通滤波器
",3);
巴特沃思数字低通滤波器的系统函数系数:
-0.1370 0.0197 -0.0013 切比雪夫数字低通滤波器的系统函数系数:
椭圆数字低通滤波器的系统函数系数: num3= 0.03887 0.0363 0.0665 0.0363 0.0389 -2.1444 2.3658 -1.3250 0.3332 三种数字低通滤液器 100 500 1000 1500 200 Q 2500 3000 3500 4000 Frequency in Hznum 1= 0.0032 0.0129 0.0302 0.0453 0.0453 0.0302 0.0129 0.0032 0.0003 den1 二 -2.7996 4.4581 -4.5412 3.2404 -1.6330 0.5780 num2= 0.0026 0.0132 0.0264 0.0264 0.0132 0.0026 den2= 1 -2.9775 4.2932 -3.5124 1.6145 -0.3334 den3 二
1 程序结果图: 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -90 -90
---- 巴侍沃思数字假通滤液器 ——切比霄夫数字低通滤液器 ——椭圆数字低過滤浪器 -1Q0 「 | |~|
分析:设计结果表明,巴特沃思数字低通滤波器、切比雪夫数字低 通滤波器、椭圆数字低通滤波器的阶数分别是 9 、 5 、 4 阶。可见,对 于给定的阶数,椭圆数字低通滤波器的阶数最少 ( 换言之,对于给定 的阶数,过渡带最窄 )
,就这一点来说,他是最优滤波器。由图表明, 巴特沃思数字低通滤波器过渡带最宽,幅频响应单调下降;椭圆数字 低通滤波器过渡带最窄,并具有等波纹的通带和阻带响应; 切比雪夫 数字低通滤波器的过渡带介于两者之间。
(4) 分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一 Butterworth 型数 字带通滤波器,已知,其等效的模拟滤波器指标 S <3dB, 2kHzvf < 3kHz ; At > 5dB , f > 6kHz ; At > 20dB , f < 1.5kHz 。
MATLA 源程序:
wp1 = 2*pi*2000;wp2 = 2*pi*3000; ws 仁 2*pi*1500;ws2= 2*pi*6000; [N1,w n1] = buttord([wp1 wp2],[ws1 ws2],3, 20 ,"s");% 求巴特 沃思滤波器的阶数 [B1,A1] = butter(N1,w n1,"s");% 给定阶数和边界频率设计滤波器 [nu m1,de n1] = impi nvar(B1,A1,30000);% 脉冲相应不变法 [h1,w] = freqz (nu m1,de n1); w1=2*30000*ta n( 2*pi*2000/(2*30000)); w2=2*30000*ta n( 2*pi*3000/(2*30000)); wr1=2*30000*ta n(2*pi*1500/(2*30000));
wr2=2*30000*ta n( 2*pi*6000/(2*30000)); [N,w n] 二 buttord([w1 w2],[wr1 wr2],3,20,"s");% 求巴特沃思滤波 器的阶数 [B,A]=butter(N,w n,"s"); [nu m,de n]=bili near(B,A,30000);% 双线性变化法 [h2,w]=freqz (nu m,de n); f=w/(2*pi)*30000; plot(f,20*log10(abs(h1)),"-.",f,20*log10(abs(h2)),"-"); axis([0,15000,-60,10]); xlabel("Frequency in Hz"); ylabel("Gain in dB"); grid; title(" 巴特沃思数字带通滤波器 "); legend(" 脉冲相应不变法 "," 双线性变换法 ",1); 脉冲相应不变法设计的巴特沃思数字带通滤波器系统函数的分子、 分 母多项式系数:
num 仁 -1.5158 0.0057 -0.0122 0.0025 0.0089 -0.0049 den 1= 1 -4.8056 10.2376 -12.2625 8.7012 -3.4719 0.6145 双线性变换法设计的巴特沃思数字带通滤波器系统函数的分子、 分母 多项式的系数:
num 二
0.0014 0 -0.0042 7.1054 0.0042 5.7732 -0.0014
den 二
1 -4.8071 10.2473 -12.2838 8.7245 -3.4849 0.6176
(5) 利用双线性变换法设计满足下列指标的 Chebyshev 型数字带阻 滤波器,并作图验证设计结果:当 1kHz f 2kHz 时, At 18dB ;当 f 500 Hz 以及 f 3kHz 时, 3dB ;采样频率 f s 10kHz 。
MATLA 源程序:
w1 二 2*10000*ta n(2*pi*1000/(2*10000)); w2=2*10000*ta n(2*pi*2000/(2*10000)); wr1=2*10000*ta n(2*pi*500/(2*10000)); wr2=2*10000*ta n(2*pi*3000/(2*10000)); [N,wn]=cheb1ord([wr1 wr2],[w1 w2],3,18,"s");% 计算阶数
[B,A]=cheby1(N,3,w n,"stop","s");% 给定阶数和参数设计滤波器 [nu m,de n]=bili near(BA 10000) ; % 双线性变化法 [h,w]=freqz( num,de n);% 频率响应 f=w/(2*pi)*10000; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0,5000,-120,10]); grid;xlabel(" 频率 /Hz");ylabel(" 幅度 /dB") title(" 切比雪夫数字带阻滤波器 "); 程序结果图:
四、实验思考题
1 .双线性变换法中 Q 和 3 之间的关系是非线性的,在实验中你注 意到这种非线性关系了吗?从哪几种数字滤波器的幅频特性曲线中 可以观察到这种非线性关系?
答:在双线性变化法中,模拟频率与数字频率不再是线性关系,所以 一个线性相位模拟滤波器经双线性变换后,得到的数字滤波器不再保 持原有的线性相位了,在每一幅使用了双线性变换的图中, 可以看到 在采样频率一半处,幅度为零,这显然不是线性变换能够产生的,这 是由于双线性变换将模拟域中的无穷远点映射到了改点处。
2. 能否利用公式 完成脉冲响应不变法的数字滤波 4 亍加 h 器设计?为什么? 答:
IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数 a k , b k ,它是数 学上的一种逼近问题,即在规定意义上(通常采用最小均方误差准则)
去逼近系统的特性。如果在 S 平面上去逼近,就得到模拟滤波器;如 果在 z 平面上去逼近,就得到数字滤波器。但是它的缺点是,存在频 率混叠效应,故只适用于阻带的模拟滤波器。
五、实验总结 数字滤波器的设计是信号处理方面的重要内容,通过运用 MATLA 软件来设计 IIR 数字滤波器,使我熟悉了 MATLA 的强大功能, 同时也对数字滤波器的特点、作用有更深入的理解。了解了熟练的利 用 MATLA 这一功能强大的软件来设计数字滤波器对数字信号处理这 一领域有着重要的意义与价1 0.6019Z 1
0.9130Z 2
0.2989z 3
0.1501z 4
0.0208z 5
0.0025z 6
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