中考复习专题——解直角三角形.doc

时间：2021-03-08 15:06:46 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　1 中考复习之 —— 解直角三角形

　1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角； 2.探索勾股定理及其逆定理，并掌握运用它们解决一些简单的实际问题； 3.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A、cos A、tan A)；知道 30、45、60角的三角函数值； 4．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角； 5.能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题． 三． 知识回顾

　1．知识脉络

　2．基础知识 (1)勾股定理及其逆定理 ①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 即：如果直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 a 2 +b 2 =c 2 ． ②勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形． (2)锐角三角函数 ①锐角三角函数的定义 如图 7-1，在 Rt△ABC 中，∠C=90，则 sin A=A  的对边斜边=ac，cos A=A  的邻边斜边=bc， tan A=AA的对边的邻边=ab． sin A、cos A、tan A 分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A 的三角函数． ②锐角三角函数的取值范围 0<sin A<1，0<cos A<1，tan A>0． ③各锐角三角函数间的关系 A C B 斜边 c ∠A 的对边 a ∠A 的邻边 b 图 7-1

　直角三角形 边的关系：勾股定理 边角关系：锐角三角函数 解直角三角形 角的关系：两个锐角互余 锐角三角函数的应用 中考. . 解直角三角形

　2 sin A=cos (90−A)，cos A=sin (90−A)． ④特殊角的三角函数值 

　sin 

　cos 

　tan 

　30 12 32 33 45 22 22 1 60 32 12 3

　⑤使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角． (3)解直角三角形 ①解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角. ②解直角三角形的依据 角的关系：两个锐角互余； 边的关系：勾股定理； 边角关系：锐角三角函数； ②解直角三角形的常见类型及一般解法 Rt△ABC 中的已知条件 一般解法 两边 两直角边 a，b (1)2 2c a b   ； (2)由 tanaAb 求出∠A； (3)∠B=90−∠A. 一直角边 a，斜边 c (1)2 2b c a   ； (2)由 sinaAc 求出∠A； (3)∠B=90−∠A. 一边一锐角 一直角边 a，锐角 A (1)∠B=90−∠A； (2)tanabA ； (3)sinacA . 斜边 c，锐角 A (1)∠B=90−∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A. ③实际问题中术语的含义 如图 7-2，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视中考. . 解直角三角形

　3 线与水平线的夹角叫做俯角．

　如图 7-3，坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即hil ．坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i=1∶6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作  ，有hil =tan  ．显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于 90°角的为方位角．

　④解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度确定答案．

　 四．例题分析：

　1. 勾股定理与锐角三角函数知识的应用

　例 例 1 1

　在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，若 sin A=513，则 cos A 的值为(

　) A．512

　 B．813

　C．23

　D．1213 【分析】

　先画出图形，由于 cos A=ACAB，故只需求得 AC，AB 的关系，可利用 sin A=513先求得BC，AB 的关系，再利用勾股定理即可求得． 【解】选 D． 【说明】

　本题主要是要学生了解三角函数的定义及勾股定理．解决这一类问题，必须熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理的应用，把它们有机地结合起来，因此在复习时要引导学生加强对基础知识的巩固．

　变式：

　变式：

　如图 7-4，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，AB=10，sin A=25. 求 BC 的长和 tan B 的值． 铅垂线

　视线

　视线

　水平线

　仰角

　俯角

　图 7-2

　

　i=h:l h l 图 7-3

　中考. . 解直角三角形

　4 【分析】用正弦的定义即可求得 BC，而要求 tan B 则先要用勾股定理求得 AC． 【解】∵sin A=BCAB=25，AB=10，∴BC=4． ∵AC=2 22 21 AB BC   ， ∴tan B=ACBC=212． 【说明】

　本题是最基本的解直角三角形问题．

　 2. 仰角、俯角、方位角、坡角和坡度( ( 或坡比) ) 的概念

　例 例 1 1 如图 7-6-1，某大楼的顶部树有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 60°．沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45°，已知山坡 AB 的坡度 i=1：

　3 ，AB=10 米，AE=15 米．(i=1：

　3 是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度 AH 的比) (1)求点 B 距水平面 AE 的高度 BH； (2)求广告牌 CD 的高度． (测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米．参考数据：

　2 ≈1.414， 3 ≈1.732)

　【分析】

　(1)显然在 Rt△ ABH 中，通过坡度的概念求出 BH、AH； (2)在△ ADE 解直角三角形求出 DE 的长，进而可求出 EH 即 BG 的长，在 Rt△ CBG 中，∠CBG=45，则 CG=BG，由此可求出 CG 的长然后根据 CD=CG+GE-DE 即可求出宣传牌的高度． 【解】(1)如图 7-6-2，过 B 作 BG⊥DE 于 G， 在 Rt△ ABF 中， ∵i=tan∠BAH=13=33， ∴∠BAH=30.

　∴BH=12AB=5； (2)由(1)得：BH=5，AH=5 3 ， ∴BG=AH+AE=5 3 +15. 在 Rt△ BGC 中， B A C 图 7-4 图 7-6-1 C D B H A E 45° 60° C D B H A E 45° 60° G 图 7-6-2 中考. . 解直角三角形

　5 ∵∠CBG=45，

　∴CG=BG=5 3 +15． 在 Rt△ ADE 中， ∵∠DAE=60°，AE=15，∴DE= 3 AE=15 3 ． ∴CD=CG+GE﹣DE=5 3 +15+5-15 3 =20-10 3 ≈2.7m． 答：宣传牌 CD 高约 2.7 米． 【说明】

　此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．

　例 例 2 2 如图 7-7-1，为了测量山顶铁塔 AE 的高，小明在 27m 高的楼 CD 底部 D 测得塔顶A 的仰角为 45°，在楼顶 C 测得塔顶 A 的仰角 36°52′．已知山高 BE 为 56m，楼的底部 D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高 AE．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)

　【分析】

　根据楼高和山高可求出 EF，继而得出 AF，在 Rt△ AFC中表示出 CF，在 Rt△ ABD 中表示出 BD，根据 CF=BD 可建立方程，解出即可． 【解】

　如图 7-7-2，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F． 设塔高 AE=x，由题意得：

　EF=BE-CD=56-27=29，AF=AE+EF=(x+29)， 在 Rt△ AFC 中， ∵∠ACF=36°52′，AF=(x+29)， ∴CF=tan36 52AF =290.75x=x+1163， 在 Rt△ ABD 中， ∵∠ADB=45°，AB=x+56，∴BD=AB=x+56. ∵CF=BD，∴x+56=x+1163. 解得：x=52. 答：该铁塔的高 AE 为 52 米． 【说明】

　本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意利用方程思图 7-7-1 45° 36°52′ A E B D C 45° 36°52′ A E B D C F 图 7-7-2 中考. . 解直角三角形

　6 想求解，难度一般．

　例 例 3 3

　如图 7-8，在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB=2(单位：km)．有一艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60°的方向，从 B 测得小船在北偏东 45°的方向． (1)求点 P 到海岸线 l 的距离； (2)小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到点 C 处，此时，从 B 测得小船在北偏西 15°的方向．求点 C 与点 B 之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号) 【分析】

　(1)过点 P 作 PD⊥AB 于点 D，设 PD=x km，先解 Rt△ PBD，用含 x 的代数式表示 BD，再解 Rt△ PAD，用含 x 的代数式表示 AD，然后根据 BD+AD=AB，列出关于 x 的方程，解方程即可； (2)过点 B 作 BF⊥AC 于点 F，先解 Rt△ ABF，得出 BF=12AB=1，再解 Rt△ BCF，得出BC= 2 BF= 2 ． 【说明】

　本题中涉及到方位角的问题，引导学生分析三角形的形状后，通过作高构造直角三角形是解题的关键．这一问题的解决，会让学生进一步感悟到数学知识在现实生活中的广泛应用．

　变式：1．如图，天空中有一个静止的广告气球 C，从地面点 A 测得点 C 的仰角为 45°，从地面点 B 测得点 C 的仰角为 60°．已知 AB=20 m，点 C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留根号)．

　2．如图所示，海上有一灯塔 P，在它周围 3 海里处有暗礁，一艘客轮以 9 海里／时的速度由西向东航行，行至 A 点处测得 P 在它的北偏东 60°的方向，继续行驶 20 分钟后，到达 B 处又测得灯塔 P 在它的北偏东 45°方向．问客轮不改变方向继图 7-8-1 45° 60° B C P A 东 北 中考. . 解直角三角形

　7 续前进有无触礁的危险?

　 3. 数形结合思想与 转化思想的渗透

　例 例3 3

　如图7-5-1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运．根据经验,木板与地面的夹角为 20(即图 10-5-2 中∠ACB=20)时最为合适,已知货车车厢底部到地面的距离 AB=1.5m,木板超出车厢部分AD=0.5m,请求出木板 CD 的长度． (参考数据：sin 20≈0.3420,cos 20≈0.9397,精确到 0.1m)．

　【分析】在 Rt△ABC 中,利用∠ACB 的正弦即可求得 AC 的长,进而可得 CD． 【说明】

　本题考查学生运用数学知识分析、解决简单实际问题的能力．本题取材于学生熟悉的生活实际,解决这类题目的难度虽不大,但有利于引导学生关注生活中的数学,关注身边的数学,培养他们从实际问题中抽象出数学模型的能力,促进学生形成学数学、用数学、做数学的良好意识

　变式：

　1.如图所示，某风景区内有一古塔 AB，在塔的北面有一建筑物，冬至日的正午光线与水平面的夹角是 30°，•此时塔在建筑物的墙上留下了高 3•米的影子 CD；而在春分日正午光线与地面的夹角是 45°，此时塔尖 A 在地面上的影子 E•与墙角 C 有 15 米的距离（B、E、C 在一条直线上），求塔 AB 的高度（结果保留根号）

　 A B C D 图 7-5-1

　图 7-5-2 中考. . 解直角三角形

　8 2．如图，在观测点 E 测得小山上铁塔顶 A 的仰角为 60°，铁塔底部 B 的仰角为 45°．已知塔高 AB=20m，观察点 E 到地面的距离 EF=35m，求小山 BD 的高（精确到 0.1m， 3≈1.732）．

　3．如图所示，小山的顶部是一块平地，•在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度 i=1：

　3 ，斜坡 BD 的长是 50 米，•在山坡的坡底处测得铁架顶端 A 的仰角为 45°，在山坡的坡项 D 处测得铁架顶端 A 的仰角为 60°．

　 （1）求小山的高度； （2）求铁架的高度．（ 3 ≈1.73，精确到 0.1 米）

　四．综合演练

　填空题

　1．如图 1，防洪大堤的横断面是梯形，坝高 AC 等于 6 米，背水坡 AB 的坡度 i=1：2，则斜坡 AB 的长为_______米． 2．如图 2 所示，AB 是⊙O 的直径，弦 AC、BD 相交于 E，则CDAB等于（

　）

　A．tan∠AED

　B．cot∠AED

　C．sin∠AED

　D．cos∠AED 3．如图 3，在矩形 ABCD 中 DE⊥AC 于 E，设∠ADE=a，且 cosα=35，AB=4，则 AD 的中考. . 解直角三角形

　9 长为（

　）

　A．3

　 B． 1620 16. .3 3 5C D

　4．如图．两条宽度为 l 的带子以角交叉重叠，则重叠部分(阴影部分)的面积是

　 A、sin 

　 B．1sin 

　 C．11 cos  

　 D．21sin 

　 5．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为 6 m，下底长为 10 m，高为 2 3 m，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是

　 (

　) A．33，60°

　B． 3 ，30°

　C． 3 ，60°

　D．33，30° 解答题：

　1．某地某时刻太阳光与水平线的夹角为 31°，此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为 30m，求这幢楼房的高 AB．（结果精确到 1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

　2．为测量某塔 AB 的高度，在离该塔底部 20m 处目测塔顶，仰角为 60°，•目高为 1.5m，试求该塔的高度．（精确到 0.1m， 3 ≈1.7）

　3．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，•天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高 1.78 米，•她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高 2.29 米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51）

　中考. . 解直角三角形

　10 （图 6）

　 4 4． ．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，图 6 是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中， AB⊥BD，∠BAD＝18 o ，C 在 BD 上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为 CD 的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以 CE 的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．（结果精确到 0.1m）

　参考数据：Sin18 0 =0.31,Cos18 0 =0.95,tan18 0 =0.325 新

　5．Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12，∠A 的平分线 AD=8 3 ，求 BC，AB．

　6．两建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 45m，从 A 点测得 C 点的俯角为 30°，测得 D•点的俯角为 60°，求建筑物 CD 的高度．

　 7．如图，甲、乙两幢高楼的水平距离 BD 为 90 米，从甲楼顶部 C 点测得乙楼顶部 A 点的仰角 α 为 30°，测得乙楼底部 B 点的仰角 β 为 60°，求甲，乙两幢高楼各有多高？（计算过程和结果不取近似值）

　 中考. . 解直角三角形

　11

　8．震泽中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆 AB的高度．如图所示，当阳光从正西方向照射过来时，•旗杆 AB 的顶端 A 的影子落在教学楼前的坪地 C 处，测得影长 CE=2m，DE=4m，BD=20m，DE 与地面的夹角为α=30°．在同一时刻，测得一根长为 1m 的直立竹竿的影长恰为 4m．•根据这些数据求旗杆 AB 的高度．（可能用到的数据：

　2 ≈1.414， 3 ≈1.732，结果保留两个有效数字）

　 拓展提高：

　1、某型号飞机的机翼形状如图所示， AB ∥ CD ，根据数据计算 AC 、 BD 和 CD 的长度.

　2．如图，在△ABC 中，∠B=45°，AC=5，BC=3．求 sinA 和 AB 的值．

　中考. . 解直角三角形

　12

　3．如图，甲、乙两只捕捞船同时从 A 港出海捕鱼。甲船以每小时 2 15 千米的速度沿西偏北 30°方向前进，乙船以每小时 15 千米的速度沿东北方向前进。甲船航行 2 小时到达 C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东 75°的方向追赶，结果两船在 B 处相遇。

　（1）甲船从 C 处追赶上乙船用了多少时间？ （2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？

　北北东东BCA中考. . 解直角三角形