专题16,三角恒等变换、三角函数应用（知识精讲）（解析版）

时间：2021-01-19 20:16:54 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　专题十六

　 三角恒等变换、三角函数的应用 知识精讲 一 一 知识结构图 内

　容 考点 关注点

　 三角恒等变换、 三角函数的应用

　利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值、化简

　角的范围 三角函数图象变换

　左右平移 由图象求函数的解析式 五个关键点 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题 公式运用及三角函数的图象与性质

　二 二. 学法指导 1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：

　(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． 2. 给值求值问题的解题策略 1已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. 2由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：

　①α＝α－β＋β； ②α＝ α＋β2＋ α－β2；

　③2α＝α＋β＋α－β； ④2β＝α＋β－α－β. 3．已知三角函数值求角的解题步骤

　1界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 2求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. 3结合三角函数值及角的范围求角. 4.辅助角公式及其运用 1公式形式：公式 asin α＋bcos α＝ a 2 ＋b 2 sinα＋φ或 asin α＋bcos α＝ a 2 ＋b 2 cosα－φ将形如 asin α＋bcos αa，b 不同时为零的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式. 2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角 α 的系数为正，这样更有利于研究函数的性质. 5.公式 T (α±β) 的结构特征和符号规律：

　(1)结构特征：公式 T (α±β) 的右侧为分式形式，其中分子为 tan α 与 tan β 的和或差，分母为 1 与 tan αtan β 的差或和． (2)符号规律：分子同，分母反． 6．利用公式 T (α ＋ β) 求角的步骤：

　(1)计算待求角的正切值． (2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． (3)根据角的范围及三角函数值确定角． 7.公式 T α±β 的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 如tan π4 ＝1，tanπ6 ＝33，tan π3 ＝ 3等. 要特别注意tan π4 ＋α ＝1＋tan α1－tan α ，tan π4 －α ＝1－tan α1＋tan α . 8.证明三角恒等式的原则与步骤 1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. 2证明恒等式的一般步骤：

　①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；

　②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 9.化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 10.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成 y＝asin ωx＋bcos ωx＋k 的形式，借助辅助角公式化为 y＝Asinωx＋φ＋k或 y＝Acosωx＋φ＋k的形式，将 ωx＋φ 看作一个整体研究函数的性质. 11.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项 1方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解. 2注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响. 12.由 y＝sin x 的图象，通过变换可得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：

　(1)y＝sin x――――→相位变换y＝sin(x＋φ)――――→周期变换y＝sin(ωx＋φ) ――――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)． (2)y＝sin x――――→周期变换y＝sin ωx――――→相位变换y＝sin ω x＋ φω＝sin(ωx＋φ)――――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)． 13.确定函数 y＝Asinωx＋φ的解析式的关键是 φ 的确定，常用方法有：

　1代入法：把图象上的一个已知点代入 此时 A，ω 已知或代入图象与 x 轴的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 . 2五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 － φω ，0 作为突破口.“五点”的 ωx

　＋φ 的值具体如下：,“第一点” 即图象上升时与 x 轴的交点 为 ωx＋φ＝0；,“第二点” 即图象的“峰点” 为 ωx＋φ＝ π2 ；,“第三点”即图象下降时与 x 轴的交点 为 ωx＋φ＝π；,“第四点” 即图象的“谷点” 为 ωx＋φ＝ 3π2；,“第五点”为 ωx＋φ＝2π. 14.正弦余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数 y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当 φ＝kπ± π2 (k∈Z)时为偶函数；对于函数 y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当 φ＝kπ± π2 (k∈Z)时为奇函数． 15．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将 ωx＋φ 看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求 y＝Asin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若 ω＜0，则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数，再求单调区间． 16.解三角函数应用问题的基本步骤

　三 三. 知识点贯通 知识点 1

　 给角求值问题 公式：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β

　sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β sin 2α＝2sin_αcos_α cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α tan 2α＝2tan α1－tan 2 α

　例 1.(1)cos 13π12的值为(

　) A.6＋ 24

　 B.6－ 24 C.2－ 64

　 D．－6＋ 24] (2)求值：cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (1)【答案】D

　【解析】cos 13π12＝cos π＋π12＝－cosπ12

　＝－cos π4 －π6＝－cos π4 cosπ6 －sinπ4 sinπ6 ＝－22×32－22×12 ＝－6＋ 24. (2)【解析】cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝ 12 . (3)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(

　) A．－32

　 B．－ 12

　C.12

　D.32 (4)若 θ 是第二象限角且 sin θ＝513 ，则 cos(θ＋60°)＝________. (5)求值：(tan 10°－ 3) cos 10°sin 50°. (3)【答案】D

　 【解析】(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°，

　∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50°＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32. （4）【答案】－ 12＋5 326 【解析】∵θ 是第二象限角且 sin θ＝513 ，∴cos θ＝－1－sin 2 θ＝－ 1213 ， ∴cos(θ＋60°)＝ 12 cos θ－32sin θ＝ 12 × － 1213－32× 513 ＝－12＋5 326.] (5)【解析】

　原式＝(tan 10°－tan 60°) cos 10°sin 50°＝ sin 10°cos 10°－ sin 60°cos 60°cos 10°sin 50° ＝sin－50°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2. （ （6 ）cos π7 cos3π7cos 5π7的值为(

　) A. 14

　B．－14

　C.18

　D．－18

　(7)求下列各式的值：

　①cos 4 15°－sin 4 15°；② 1－tan2 75°tan 75° （6）【答案】D

　【解析】∵cos 3π7＝－cos 4π7，cos 5π7＝－cos 2π7， ∴cos π7 cos3π7cos 5π7＝cos π7 cos2π7cos 4π7＝8sin π7 cosπ7 cos2π7cos 4π78sin π7＝ 4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin 8π78sin π7＝－ 18 . (7)【解析】①cos 4 15°－sin 4 15°＝(cos 2 15°－sin 2 15°)(cos 2 15°＋sin 2 15°)＝cos 2 15°－sin 2 15°＝cos 30°＝32. ② 1－tan2 75°tan 75°＝2×1－tan 2 75°2tan 75° ＝2×1tan 150°＝－2 3.

　知识点二

　 给值求值、求角问题 公式：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β 题 例题 2 ：(1)已知 sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝ 12 ，则 cos(α－β)＝(

　) A．－32

　 B．－ 12

　C.12

　D.32 (2)已知 sin π3 ＋α ＝1213 ，α∈ π6 ，2π3，求 cos α 的值． (1)【答案】D

　【解析】因为 sin α－sin β＝1－32， 所以 sin 2 α－2sin αsin β＋sin 2 β＝ 1－322 ， ① 因为 cos α－cos β＝ 12 ，所以 cos2 α－2cos αcos β＋cos 2 β＝  122 ， ② ①，②两式相加得 1－2cos(α－β)＋1＝1－ 3＋ 34 ＋14

　所以－2cos(α－β)＝－ 3

　所以 cos(α－β)＝32. (2)【解析】∵α∈ π6 ，2π3，∴ π3 ＋α∈ π2 ，π ， ∴cos π3 ＋α ＝－1－sin 2 π3 ＋α ＝－1－ 12132 ＝－ 513 . ∵α＝ π3 ＋α －π3 ， cos α＝cos π3 ＋α －π3＝cos π3 ＋α cosπ3 ＋sin π3 ＋α sinπ3 ＝－513 ×12 ＋1213 ×32

　＝ 12 3－526. （3）已知 cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且 α，β∈ 0， π2.求：①cos(2α－β)的值；②β 的值． (3)【解析】

　①因为 α，β∈ 0， π2， 所以 α－β∈ － π2 ，π2，又 sin(α－β)＝1010＞0， 所以 0＜α－β＜ π2 ， 所以 sin α＝ 1－cos 2 α＝ 2 55， cos(α－β)＝ 1－sin 2 α－β＝ 3 1010， cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×3 1010－ 2 55×1010＝210 . ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×3 1010＋ 2 55×1010＝22， 又因为 β∈ 0， π2，所以 β＝ π4 . （4）已知锐角 α，β 满足 cos α＝ 2 55，sin(α－β)＝－ 35 ，求 sin β 的值． 【解析】

　因为 α，β 是锐角，即 0＜α＜ π2 ，0＜β＜π2 ，所以－π2 ＜α－β＜π2 ， 因为 sin(α－β)＝－ 35 ＜0，所以 cos(α－β)＝45 ， 因为 cos α＝ 2 55，所以 sin α＝55， 所以 sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45 ＋2 55×35 ＝2 55.

　（ （5 ）已知 cos α＋ π4＝ 35 ，π2 ≤α＜3π2，求 cos 2α＋ π4的值；

　(5)【解析】∵ π2 ≤α＜3π2，∴ 3π4≤α＋ π4 ＜7π4. ∵cos α＋ π4＞0，∴ 3π2＜α＋ π4 ＜7π4， ∴sin α＋ π4＝－ 1－cos 2 α＋ π4＝－ 1－ 352 ＝－ 45 ， ∴cos 2α＝sin 2α＋ π2＝2sin α＋ π4cos α＋ π4＝2×－ 45×35 ＝－2425 ， sin 2α＝－cos 2α＋ π2＝1－2cos 2 α＋ π4＝1－2×352 ＝ 725 ， ∴cos 2α＋ π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×－ 2425－22× 725 ＝－31 250. 知识点三

　辅助角公式的应用 辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a 2 ＋b 2 sin(x＋φ)，其中 tan φ＝ ba 题 例题 3 .(1)sinπ12 － 3cosπ12 ＝________. (2)已知 f(x)＝ 3sin x－cos x，求函数 f(x)的周期，值域，单调递增区间． (1)【答案】－ 2

　【解析】原式＝2 12 sinπ12 －32cosπ12. 法一：(化正弦)原式＝2 cos π3 sinπ12 －sinπ3 cosπ12 ＝2 sinπ12 cosπ3 －cosπ12 sinπ3＝2sin π12 －π3＝2sin － π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2 sin π6 sinπ12 －cosπ6 cosπ12 ＝－2 cos π6 cosπ12 －sinπ6 sinπ12＝－2cos π6 ＋π12＝－2cos π4 ＝－ 2.] (2)【解析】

　f(x)＝ 3sin x－cos x＝2 sin x·32－cos x·12＝2 sin xcos π6 －cos xsinπ6

　＝2sin x－ π6， ∴T＝ 2πω ＝2π，值域[－2,2]． 由－ π2 ＋2kπ≤x－π6 ≤π2 ＋2kπ，得递增区间 － π3 ＋2kπ，2π3＋2kπ ，k∈Z. 知识点四

　两角和与差的正切公式的运用 两角和与差的正切公式 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β

　tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β

　题 例题 4 ．(1)已知 α，β 均为锐角，tan α＝ 12 ，tan β＝13 ，则 α＋β＝________. (1)【答案】

　π4

　【解析】∵tan α＝ 12 ，tan β＝13 ， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝12 ＋131－ 12 ×13＝1. ∵α，β 均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝ π4 .

　(2) 1＋tan 15°1－tan 15°＝________.

　(3) 1－ 3tan 75°3＋tan 75°＝________. (2)【答案】

　3

　 【解析】原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3. （3）【答案】－1 【解析】原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°

　＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1. 知识点五

　恒等变换与三角函数图象性质的综合 例 5.已知函数 f(x)＝ 3cos 2x－ π3－2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期． (2)求证：当 x∈ － π4 ，π4时，f(x)≥－ 12 . 【解析】(1)f(x)＝ 3cos 2x－ π3－2sin xcos x＝32cos 2x＋ 32 sin 2x－sin 2x＝12 sin 2x＋32cos 2x＝sin 2x＋ π3，所以 T＝ 2π2＝π. (2)证明：令 t＝2x＋ π3 ，因为－π4 ≤x≤π4 ， 所以－ π6 ≤2x＋π3 ≤5π6， 因为 y＝sin t 在 － π6 ，π2上单调递增，在 π2 ，5π6上单调递减， 所以 f(x)≥sin － π6＝－ 12 ，得证． 知识点六

　 三角函数图象之间的变换 1. φ 对 y＝sin(x＋φ)，x∈R 的图象的影响

　2．ω(ω＞0)对 y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

　3．A(A＞0)对 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

　例 6.(1)将函数 y＝ 2cos 2x＋ π3的图象向左平移 π3 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则所得图象的解析式为________． (2)将 y＝sin x 的图象怎样变换可得到函数 y＝2sin（2x＋ π4 ）＋1 的图象？ (1)【答案】y＝－ 2cos 2x－3

　【解析】y＝ 2cos 2x＋ π3的图象向左平移 π3 个单位长度， 得 y＝ 2cos 2 x＋ π3＋ π3＝ 2cos(2x＋π)＝－ 2cos 2x， 再向下平移 3 个单位长度得 y＝－ 2cos 2x－3 的图象．] (2)【解析】

　法一：(先伸缩法)①把 y＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到y＝2sin x 的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍，得 y＝2sin 2x 的图象；③将所得图象沿 x 轴向左平移 π8 个单位，得 y＝2sin 2 x＋ π8的图象； ④将所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位， 得 y＝2sin 2x＋ π4＋1 的图象． 法二：(先平移法)①将 y＝sin x 的图象沿 x 轴向左平移 π4 个单位，得 y＝sin x＋ π4的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍，得 y＝ sin 2x＋ π4的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来 2 倍，得到 y＝2sin 2x＋ π4的图象；④将所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位，得 y＝2sin 2x＋ π4＋1 的图象． 知识点七

　已知函数图象求解析式 例 7.已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B A＞0，ω＞0，|φ|＜ π2的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析

　式为(

　)

　A．y＝2cos x2 －π4＋4

　 B．y＝2cos x2 ＋π4＋4 C．y＝4cos x2 －π4＋2

　 D．y＝4cos x2 ＋π4＋2 【答案】A

　【解析】由函数 f(x)的最大值和最小值得 A＋B＝6，－A＋B＝2，所以 A＝2，B＝4， 函数 f(x)的周期为 π2 － － π2×4＝4π，又 ω＞0， 所以 ω＝ 12 ，又因为点 π2 ，6 在函数 f(x)的图象上 所以 6＝2cos 12 ×π2 ＋φ ＋4，所以 cos π4 ＋φ ＝1， 所以 π4 ＋φ＝2kπ，k∈Z，所以 φ＝2kπ－π4 ，k∈Z，又|φ|＜π2

　所以 φ＝－ π4 ，所以 f(x)＝2cos 12 x－π4＋4. 知识点八

　 三角函数图象与性质的综合应用 例 8

　 (1)已知函数 f(x)＝sin ωx＋ π3(ω＞0)，若 f π6＝f π3，且 f(x)在区间 π6 ，π3上有最小值，无最大值，则 ω＝(

　) A. 23

　 B.143

　C. 263

　D. 383 (2)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M 3π4，0 对称，且在区间 0， π2上是单调函数，求 φ 和 ω 的值． (1)【答案】B

　【解析】因为 f π6＝f π3，所以直线 x＝π6 ＋π32＝ π4 是函数 f(x)图象的一条对称轴， 又因为 f(x)在区间 π6 ，π3上有最小值，无最大值， 所以当 x＝ π4 时，f(x)取得最小值． 所以 π4 ω＋π3 ＝2kπ－π2 ，k∈Z，解得 ω＝8k－103，(k∈Z) 又因为 T＝ 2πω ≥π3 －π6 ＝π6 ，所以 ω≤12，又因为 ω＞0， 所以 k＝1，即 ω＝8－ 103＝ 143.] (2)【解析】

　由 f(x)是偶函数，得 f(－x)＝f(x)，即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称， ∴f(x)在 x＝0 时取得最值，即 sin φ＝1 或－1. 依题设 0≤φ＜π，∴解得 φ＝ π2 . 由 f(x)的图象关于点 M 对称，可知 sin 3π4ω＋ π2＝0，即 3π4ω＋ π2 ＝kπ，解得 ω＝4k3－ 23 ，k∈Z. 又 f(x)在 0， π2上是单调函数，所以 T≥π，即 2πω ≥π. ∴ω≤2，又 ω＞0，∴k＝1 时，ω＝ 23 ；k＝2 时，ω＝2. 故 φ＝ π2 ，ω＝2 或23 . 知识点九

　 三角函数模型的实际应用 例 9.已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(时)的函数，其中 0≤t≤24，记 y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

　t 0 3 6 9 12 15 18 21 24

　y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5

　经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数 y＝Acos ωt＋b 的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的 8：00 到 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 【解析】

　(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝ π6 .又 t＝0 时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3 时，y＝1.0，得 b＝1.0，所以振幅为 12 ，函数解析式为 y＝12 cosπ6 t＋1(0≤t≤24)． (2)∵y＞1 时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝ 12 cosπ6 t＋1＞1，cosπ6 t＞0,2kπ－π2 ＜π6 t＜2kπ＋π2 ，即 12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又 0≤t≤24，所以 0≤t＜3 或 9＜t＜15 或 21＜t≤24，所以在规定时间内只有6 个小时冲浪爱好者可以进行活动，即 9＜t＜15. 五 五 易错点分析 易错一

　给值求角 题 例题 10. 已知 α，β 均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求 α－β. 【解析】

　∵α，β 均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝ 3 1010，cos α＝ 2 55. ∵sin α<sin β，∴α<β，∴－ π2 <α－β<0， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－ 2 55×3 1010＝－22， ∴α－β＝－ π4 .

　误区警示 根据已知三角函数值求角，应根据已知角或三角函数值的大小，缩小角的范围，选择合适的三角函

　数名求值。

　易错二

　 三角函数图像平移 题 例题 11. 要得到 y＝cos  2x－ π4的图象，只要将 y＝sin 2x 的图象(

　) A．向左平移 π8 个单位 B．向右平移 π8 个单位 C．向左平移 π4 个单位 D．向右平移 π4 个单位 【答案】A

　【解析】因为 y＝cos  2x－ π4＝sin  2x－ π4＋ π2＝sin  2x＋ π4＝sin 2  x＋ π8， 所以将 y＝sin 2x 的图象向左平移 π8 个单位， 得到 y＝cos  2x－ π4的图象．

　错误区警示 三角函数图象的平移，应先化为同名三角函数，左右平移，左加右减，应该是相对 x 本身加减。